1．理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念．2．掌握求空间角的基本方法及步骤，熟练掌握空间角向平面角的转化技巧．3．培养学生的转化思想和数形结合思想，提高学生的空间想象能力．1_______________2____________11________.OO．异面直线所成的角：在空间中任取一点，过点分别作两异面直线的①线所成的②叫做两条异面直线所成的角．．异面直线所成的角的范围是③一，当④时，这两条异面直线垂直．．直线和平面所成的角：如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为、异面直线所成的角二、直线与平⑤面所成的角2________.3________________2_______.如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为⑥如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的⑦所成的⑧角，称之为直线和平面所成的角．．直线和平面所成的角的范围是⑨1_____________.__2____________.3____.4___S射．．二面角：从一条直线出发的两个⑩组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上⑪一点为端点，在两个面内分别作⑫两条射线．这两条射线所成的角叫做⑬平面角是⑭角的二面角叫做直二面角．．二面角的范围是⑮．作二面角的平面角的常用方法有⑯．求二面角除常用的传统方法外，还可用面积的射影定理来求二三面角，即⑰、二面角(0]022[0]22[0]cos=SS射①平行；②锐角或直角；③，；④；⑤；⑥；⑦射影；⑧锐；⑨，；⑩半平面；⑪任意；⑫垂直于棱的；⑬二面角的平面角；⑭直；⑮，；⑯定义法、三垂线定理法、垂面法；⑰【要点指南】；1.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD所成角的大小为()A．30°B．90°C．60°D．120°【解析】因为MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AC∩MC＝C，所以BD⊥平面ACM.因为AM⊂平面ACM，所以BD⊥AM.故MA与BD所成角的大小为90°.2.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图，过点C作平面β的垂线，垂足为D，过D作DE垂直AB于E，连接CE.则∠CED为α－AB－β的平面角．由题意可知∠CED＝30°.3.设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】连接AC、BD交于O，连接OE，则OE∥SC.因为BE2＝2，OB2＝32，OE＝22，所以cos∠BEO＝2＋12－322·2·22＝12，所以∠BEO＝60°.4.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°且PA＝AC＝BC＝a，异面直线PB与AC所成角的正切值为2.5.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于36.【解析】设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a.因为O为底面的中心，所以∠SAO为SA与平面ABC所成的角．所以AO＝23×32a＝33a，所以cos∠SAO＝33a2a＝36.一异面直线所成的角【例1】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中点．(1)求证：AD1∥平面DOC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．【解析】(1)证明：连接D1C交DC1于点O1，连接OO1.因为O，O1分别是AC和D1C的中点，所以OO1∥AD1.又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，所以AD1∥平面DOC1.(2)由OO1∥AD1知，AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角．在△OO1D中，OD＝52，O1D＝52，OO1＝22.由余弦定理得cos∠OO1D＝522＋222－5222×52×22＝225，故AD1和DC1所成角的余弦值为225.【点评】求异面直线的夹角，在几何体需作线段的平移．求异面直线所成角的一般方法是平移法，通过平移构造三角形，利用正弦定理和余弦定理求解．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是棱A1B1、C1D1上的点，且B1E1＝D1F1＝A1B14，则BE1与DF1所成角的余弦值为()A.817B.1517C.32D.12素材1【解析】在A1B1上取一点G，并使A1G＝A1B14，连接AG，再在AB上取AB的中点H，连接GH.则∠AGH为异面直线BE1与DF1所成的角．不妨设A1B1＝4，则AG＝GH＝42＋1＝17.所以在△AGH中，cos∠AGH＝AG2＋GH2－AH22·AG·GH＝17＋17－4217×17＝1517.二直线和平面所成的角【例2】在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥B...
