第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,理解斜率与倾斜角的关系.2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.利用数形结合、分类讨论的思想求直线的斜率及倾斜角.1.直线的确定在平面直角坐标系中,确定直线位置的几何条件是:已知直线上的一个点和这条直线的方向.2.直线的倾斜角【做一做1】若直线l1的倾斜角为60°,直线l1⊥直线l2,则l2的倾斜角为()A.-30°B.30°C.150°D.120°解析:设直线l1的倾斜角α1=60°,因为l1⊥l2,所以直线l2的倾斜角α2=90°+α1=150°.答案:C3.直线的斜率名师点拨图①图②1.当x1=x2(y1≠y2)时,直线P1P2与y轴平行或重合,此时直线与x轴垂直,直线的斜率不存在,如图①所示;当y1=y2(x1≠x2)时,直线P1P2与x轴平行或重合,此时𝑘𝑃1𝑃2=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1=0,如图②所示.2.直线斜率公式k=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1的条件为x1≠x2,因此判断一条直线是否存在斜率,就是看是否有x1≠x2.3.斜率公式与两点的顺序无关,即两个纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换,即若分子是y2-y1,则分母必须是x2-x1;反过来,若分子是y1-y2,则分母必须是x1-x2.【做一做2-1】已知直线l经过点A(18,8),B(4,-4),则l的斜率为()A.-67B.76C.67D.-76答案:C【做一做2-2】有下列说法:①若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180°;②若k是直线的斜率,则k∈R;③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率;④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:只有④不正确.答案:C题型一题型二题型三题型四题型一直线的倾斜角【例1】若直线l经过原点和点(-1,1),则它的倾斜角是()A.45°B.135°C.45°和135°D.-45°解析:作出直线l的图像如图所示,由图像易知,应选B.答案:B反思结合图形求倾斜角时,应注意平面几何知识的应用.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°,求直线l2的倾斜角.分析:本题中已知直线l1的倾斜角,又知l1与l2向上的方向之间所成的角,故可考虑利用三角形外角与内角的关系求出直线l2的倾斜角.解:设直线l2的倾斜角为α2,则α2是△ABC的外角.如图所示,所以α2=α1+∠BAC=15°+120°=135°.题型一题型二题型三题型四题型二直线的斜率【例2】判断经过下列已知两点的直线的斜率是否存在,如果存在,求出其斜率.(1)P1(-2,3),P2(-2,8);(2)P1(5,-2),P2(-2,-2);(3)P1(-1,2),P2(3,-4).分析:题型一题型二题型三题型四解:(1)斜率不存在.因为直线所经过的两点的横坐标相等.(2)斜率存在,斜率k=-2+25+2=0.(3)斜率存在,斜率k=-4-23+1=-32.反思在应用直线的斜率公式时,要特别注意横坐标、纵坐标的位置,否则可能因坐标位置的原因而出现不应有的错误.例如,过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2,绝对不可写为k=𝑦2-𝑦1𝑥1-𝑥2或k=𝑦1-𝑦2𝑥2-𝑥1的形式.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),求直线AB,BC,AC的斜率.解:已知点的坐标可代入过两点的直线的斜率公式求斜率,但应先验证两点的横坐标是否相等. B,C两点的横坐标相等,∴直线BC的斜率不存在.于是:kAB=1-11-(-1)=0,kAC=-1-11-(-1)=-1.题型一题型二题型三题型四题型三三点共线问题【例3】若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k=.解析:可利用斜率公式列方程来求k的值.由经过两点的直线的斜率公式得直线AB的斜率kAB存在且与直线BC的斜率kBC相等.答案:6反思若点A,B,C均在斜率存在的直线l上,则任意两点的坐标都可表示直线l的斜率k,设直线AB的斜率为kAB,直线AC的斜率为kAC,直线BC的斜率为kBC,则kAB=kAC(或kAB=kBC);反过来,若kAB=kAC(或kAB=kBC),则直线AB与直线AC(BC)的倾斜角相同,即AB与AC(BC)所在的直线重合,所以可利用斜率公式解决点共线问题.又kAB=3+34-2=3,∴kBC=k-3=3,解得k=6.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知三点Aቀ2𝑚,52ቁ,B(4,-1),C(-4,-m)在同一条直线上,试确定常数m的值.解:若三点A,B,C在同一条直线上,则直线AB的斜率与直线BC的斜率相等.由于三点A,B,C三点所在直线不可能垂...
