本章整合第二章点、直线、平面之间的位置关系专题一专题二专题三专题四专题五专题一公理的应用1.证明共面问题证明共面问题,一般有两种证法:一是先由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合.2.证明三点共线问题证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,则这个点必在两个平面的交线上.3.证明三线共点问题证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.专题一专题二专题三专题四专题五应用如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,点G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.专题一专题二专题三专题四专题五证明:(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以EF∥GH.故E,F,G,H四点共面.(2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EF≠GH,且EF∥GH,故EFHG为梯形.所以EG与FH必相交,设交点为M.因为EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,所以M∈平面ABC,且M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以M∈AC,即EG与HF的交点在直线AC上.专题一专题二专题三专题四专题五专题二空间中点、线、面的位置关系1.空间中直线与直线的位置关系有三种:平行、相交、异面.2.空间中直线与平面的位置关系:൞直线在平面内直线在平面外ቊ直线与平面相交直线与平面平行3.空间中平面与平面的位置关系:ቊ两个平面平行两个平面相交专题一专题二专题三专题四专题五应用1已知a∥平面α,b∥平面β,α∩β=c,则直线a与直线b的位置关系是.答案:平行、相交、异面专题一专题二专题三专题四专题五应用2已知直线a与b不平行,且a⊥平面α,b⊥平面β,试判断平面α与平面β的位置关系,并证明你的结论.解:平面α与平面β一定相交,下面用反证法证明:假设平面α与β不相交,则α∥β.因为a⊥α,所以a⊥β,又b⊥β,所以a∥b,这和a与b不平行矛盾.所以假设不成立,故平面α与平面β一定相交.专题一专题二专题三专题四专题五专题三平行问题1.平行线的传递性公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.2.直线与平面平行的判定与性质:(1)判定:𝑎⊄𝛼𝑏⊂𝛼𝑎∥𝑏ൡ⇒a∥α.专题一专题二专题三专题四专题五(2)性质:𝑎∥𝛽𝑎⊂𝛼𝛼⋂𝛽=𝑏ൡ⇒a∥b.3.平面与平面平行的判定和性质(1)判定:①𝑎∥𝛽,𝑏∥𝛽𝑎⊂𝛼,𝑏⊂𝛼𝑎⋂𝑏=𝑃ൡ⇒α∥β,②𝛼∥𝛾𝛽∥𝛾ൠ⇒α∥β.(2)性质:①𝛼∥𝛽𝛾⋂𝛼=𝑎𝛾⋂𝛽=𝑏ൡ⇒a∥b,②𝛼∥𝛽𝑎⊂𝛼ቅ⇒a∥β.专题一专题二专题三专题四专题五应用如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P,Q分别是CC1,C1D1的中点.求证:AC∥平面BPQ.专题一专题二专题三专题四专题五证明:连接CD1,AD1,因为P,Q分别是CC1,C1D1的中点,所以PQ∥CD1,且CD1⊄平面BPQ,PQ⊂平面BPQ,所以CD1∥平面BPQ.又D1Q=AB=1,D1Q∥AB,所以四边形ABQD1是平行四边形.所以AD1∥BQ,且AD1⊄平面BPQ,BQ⊂平面BPQ,所以AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1=D1,所以平面ACD1∥平面BPQ.因为AC⊂平面ACD1,所以AC∥平面BPQ.专题一专题二专题三专题四专题五专题四垂直问题1.如果两条异面直线所成的角为直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直的判定与性质:(1)判定:①𝑎⊥𝑚,𝑎⊥𝑛𝑚⋂𝑛=𝐴𝑚⊂𝛼,𝑛⊂𝛼ൡ⇒a⊥α,②𝑎∥𝑏𝑎⊥𝛼ቅ⇒b⊥α,③𝛼∥𝛽𝑎⊥𝛼ቅ⇒a⊥β,④𝛼⊥𝛽𝛼⋂𝛽=𝑏𝑎⊥𝑏𝑎⊂𝛼ൢ�⇒a⊥β.(2)性质:𝑎⊥𝛼𝑏⊥𝛼ቅ⇒a∥b.专题一专题二专题三专题四专题五(3)掌握线面垂直的判定方法,特别是线面垂直的判定定理,在无条件的情况下,要创造条件(即作垂线)把线面关系转化为线线关系.3.平面与平面垂直的判定和性质:(1)判定:①𝑎⊂𝛼𝑎⊥𝛽ቅ⇒α⊥β,②依定义,二面角的平面角θ=90°.(2)性质:①𝛼⊥𝛽,𝛼⋂𝛽=𝑏𝑎⊂𝛼,𝑎⊥𝑏ൠ⇒a⊥β,②𝐴∈𝑎,𝐴∈𝛼𝑎⊥𝛽,𝛼⊥𝛽ቋ⇒a⊂α.专题一专题二专题三专题四专题五应用如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA...
