全基本不等式应用VIP免费

基本不等式应用一．基本不等式22ba22）1.（1）若，则”，(2)若则时取“=（当且仅当abb2aR,a,bRbabaab2ba**abab2Rba,baR,ba”，则时取“=），则(2)2.(1)若若（当且仅当ab22ba*R,baba”，则时取“）(当且仅当(3)若=ab2112x2x1x1x0xx0时取）当且仅当）“=”;若(当且仅当，3.若则时取则，“=”(xx111b0xa”）(当且仅当，则时取“若=-22或xx2即xxxxbababa0）时取“，则=”(当且仅当3.若2abbbaaabb0aba-22或2即”），则若时取“(当且仅当=aabbab22babaRa,bba）时取“=，则4.若（当且仅当”2()22）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的注：（1积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域112x＋（2）y3（1）y＝x＝＋2x2x1122∞）63＝x∴值域为＋≥[26，3x·+＝解：（1）y222x2x112y＝≥x＋＝2；（2）当x＞0时，x·xx1112x－）≤－yx＜0时，2x·=－＝x＋=－（－当xxx∪[2，+∞）∴值域为（－∞，－2]解题技巧：技巧一：凑项51x：已知例1的最大值。，求函数2y4x454x1244xx50解：因不是常数，又所以对要进行拆、凑项，“调整”，所以首先要符号，2)(4x54x511231，0x,54x354xxy4244x554x1y14x51x1x。时，，即当且仅当时，上式等号成立，故当max54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数．yx(82x)的最大值。当例1.时，求知，解析：由，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子2x(82x)8yx(82x)凑上一个系数即可。注意到故只需将为定值，积的形式，但其和不是定值。yx(82x)的最大值为82时，。x当，即x＝2时取等号当＝评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3x0y4x(32x)的最大值。变式：设，求函数2232x32x90x32x0∴∴解： 2x)2x(324x(32x)2y222330x,,x2x32时等号成立。即当且仅当42技巧三：分离27xx10(x1)y求例3.的值域。x1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。459x1)y2（（当且仅当x＝当,1即时时取“＝”号）。,x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。225tt447(t1）(t1)+10y=t5ttt4y2t59（当t,即t=2=时即,x＝1时取“＝”号）。当t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最AB(A0,B0)ymg(x)即化为值。)，g(x恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。)xg(ax)f(x的单调性。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数x2x5y的值域。例：求函数24x1125x22)tx4t(2，则解：令2)ttx(4yt24x24x112,10,ttt1t不在区间因解得，但，故等号不成立，考虑单调性。tt152,1,yty。因为单调递增，所以在其子区间在区间为单调递增函数，故2t5,。所以，所求函数的值域为2.的值练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x1121x3x,x(0,x)y2sin3y2x,x,(x0)y）（12(3)（）xsin3xx2)y(x(1x00x.的最大值.；3．，求函数，求函数2．已的最大值3条件求最值ba332ba.若实数满足的最小值是，则1.ba33分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，babababa333和3623332都是正数，≥解：bbaaba3333331babab21a的最小值是6及当即当时，得时等号成立，由．112yxloglog.并求x,变式：若y，求的值的最小值44yx技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。9110x0,yyx，且：已知，求的最小值。2yx9191912yx00,yx1，且错解：故，。12xyxy22xy．．minyxyxyx919yxxyxy2等号成立，在错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是2xyxy91x9y取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出即条件是,yx等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有...