§3.7解三角形考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§3.7解三角形双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理基础梳理1．正弦定理和余弦定理思考感悟1．在△ABC中，sinA>sinB是A>B的什么条件？2．结合余弦定理，如何判断三角形的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)?提示：1.充要条件 sinA>sinB⇔a2R>b2R⇔a>b⇔A>B.2．不妨设三边长分别为a，b，c，且a≥b≥c，只需验证b2＋c2－a2的结果，即大于零为锐角三角形，等于零为直角三角形，小于零为钝角三角形．2．△ABC的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)(2)S＝12absinC＝_________＝________＝abc4R(R为外接圆半径)(3)S＝pp－ap－bp－c(其中p＝12(a＋b＋c))12acsinB12bcsinA1．在△ABC中，若cos(2B＋C)＋2sinAsinB＝0，则△ABC中一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案：C课前热身答案：C2．(2011年宿州质检)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为()A．27B.21C.13D．3答案：D3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.518B.34C.32D.784．(教材习题改编)在△ABC中，下列四个条件：①a＝7，b＝14，A＝30°；②a＝30，b＝25，A＝150°；③a＝20，b＝50，A＝30°；④a＝30，b＝40，A＝30°.其中解三角形有一解的是________．答案：①②5．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csinA，角C＝________.答案：π3考点探究•挑战高考考点突破考点突破利用正余弦定理解三角形1．已知三角形中的两角一边，可使用正弦定理解三角形；2．已知三角形的两边及其一边对角，可利用正弦定理解三角形(也可考虑使用余弦定理)；3．已知三角形的三边或已知三角形的两边及其夹角，使用余弦定理解三角形．(2010年高考陕西卷)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．【思路点拨】已知三角形ACD三边的长，可用余弦定理求∠ADC，在△ABD中再用正弦定理求解．例例11【解】在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.【名师点评】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．三角形形状的判定(2010年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思路点拨】利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．例例22【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A∈(0，π)，故A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°
