高中数学 132 导数的应用(函数的极值2)课件 新人教A版选修2-2 课件VIP免费

2025年2月24日一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'C1)'(nnnxxxxcos)'(sinxxsin)'(cos2.法则1)()()]()(['''xvxuxvxu[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx[()]'()CuxCux法则2'2''(0)uuvuvvvv法则3xx1)'(ln1(log)'lnaxxaxxee)'(aaaxxln)'(3.复合函数的导数：,,.xuxxuxxxyfuxuyfuyfxxyyufxfuxx设函数在点处有导数u函数在点的对应点处有导数则复合函数在点处也有导数，且或4.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.5.判别f(x0)是极大、极小值的方法:00000000,xfxxfxxfxfxfxxxfx0若满足且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，fx是极大值。6.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.[例1]已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．[分析]本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f′(x)取值左右异号．[解析]f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)当a＞0时，x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)y′＋0－0－0＋y极大值无极值极小值[点评]紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键．由表可知：4＝f(－1)＝－a＋b＋c0＝f(1)＝a－b＋c又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.(2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，在x＝1时有极值10，则a、b的值为()A．a＝3，b＝－3，或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1，或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确[答案]D变式[解析]f′(x)＝3x2－2ax－b x＝1是函数f(x)的极值点，且在x＝1处的极值为10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0①f(1)＝1－a－b＋a2＝10②当a＝3，b＝－3时f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2当x＜1时，f′(x)＞0当x＞1时，f′(x)＞0由①②解得a＝－4b＝11或a＝3b＝－3∴当x＝1时函数不存在极值．当a＝－4，b＝11时符合题意，故应选D.[例2]求函数f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)[解析]由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0