2．2向量的线性运算2．2.1向量的加法学习目标掌握向量加法运算，理解其几何意义.课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练2.2.1向量的加法课前自主学案温故夯基1．向量的有关概念：(1)所谓向量是____________________的量．(2)相等向量应满足____________________，所谓共线向量是指______________________的向量．既有大小又有方向大小相等，方向相同方向相同或相反2．如图所示D、E、F分别是△ABC各边的中点，若|BC→|＝2，则|DF→|＝__，|BE→|＝__.11知新益能1．向量加法的定义已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→叫做a与b的___，记作________即a＋b＝OA→＋AB→＝OB→.求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量加法的法则(1)三角形法则：根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．和a＋b.(2)平行四边形法则：对于两个不共线的非零向量a，b，分别作OA→＝a，OC→＝b，以____、____为邻边作▱OABC，则以____为起点的对角线OB→，就是向量a与b的和，这种方法叫做向量加法的平行四边形法则．3．运算律及运算性质(1)运算律OAOCO①交换律：a＋b＝______.②结合律：(a＋b)＋c＝___________．(2)运算性质①设a为任一向量，则a＋0＝0＋a＝a.②对于相反向量，有a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.③a与b互为相反向量⇔a＋b＝0⇔a＝－b⇔________b＋aa＋(b＋c)b＝－a.问题探究任意两个非零向量相加是否都可以用向量加法的平行四边形法则作出和向量来呢？提示：不一定，当两个向量共线时，无法用平行四边形法则作出和向量．课堂互动讲练考点突破向量加法的定义该类题常以作图题出现，考查对向量加法概念的理解，作图时注意起点与终点的具体位置．例例11(1)如图(1)，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图(2)，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b；【思路点拨】结合三角形法则及平行四边形法则求解．【解】(1)如图所示，设OA→＝a， a与b有公共点A，故过A点作AB→＝b，连结OB→即为a＋b.(2)如图，设OA→＝a，过O点作OB→＝b，则以OA、OB为邻边作▱OACB，连结OC，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b.【名师点评】(1)用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；(2)平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”．向量的加法算式的化简向量的加法算式化简要运用加法运算的结合律及三角形法则化简，可以画相对应的图形帮助寻找化简的方向．化简下列各式：(1)BC→＋AB→；(2)DB→＋CD→＋BC→；(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.例例22【思路点拨】所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．【解】(1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)DB→＋CD→＋BC→＝(DB→＋BC→)＋CD→＝DC→＋CD→＝0(或DB→＋CD→＋BC→＝(DB→＋CD→)＋BC→＝(CD→＋DB→)＋BC→＝CB→＋BC→＝0)．(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DF→＋FA→＝AF→＋FA→＝0.【名师点评】(1)化简与向量和的运算有关的式子，应注意利用向量和的三角形法则和向量加法的运算律．(2)“首尾相接”的n个向量的和为0，而不是0.自我挑战1化简：(1)AB→＋CD→＋(BC→＋DB→＋BC→)；(2)AM→＋BO→＋MO→＋OA→.解：(1)AB→＋CD→＋(BC→＋DB→＋BC→)＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DB→)＋BC→＝AC→＋(CB→＋BC→)＝AC→＋0＝AC→.(2)AM→＋BO→＋MO→＋OA→＝AM→＋MO→＋OA→＋BO→＝AO→＋OA→＋BO→＝0＋BO→＝BO→.向量加法的应用向量加法的应用比较广泛，可以判断三角形的形状，可以证明几何问题，也可以解决实际问题．例例33(本题满分14分)一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d＝100m，船的航行速度为v1＝4m/s，水流速度为v2＝2m/s，试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值是多大？【思路点拨】速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法运算，利用向量加法的平行四边形法则求解即可．【规范解答】设小船行...
