第二节综合法、分析法与反证法1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结从要出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为…所以…要证…只需证…即证…P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件证明的结论推理论证成立充分条件综合法和分析法有什么区别与联系？【提示】分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种．2．间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾用反证法证明问题时要注意以下三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件【答案】A2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】 a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．【答案】D3．若a＜b＜0则下列不等式中成立的是()A.1a＜1bB．a＋1b＞b＋1aC．b＋1a＞a＋1bD.ba＜b＋1a＋1【解析】 a＜b＜0，∴1a＞1b，又b＞a，∴b＋1a＞a＋1b.【答案】C4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．【解析】由命题的否定可得．【答案】存在一个三角形，其外角最多有一个钝角5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是________．【解析】取特殊值a＝2，b＝8，得x＜y【答案】x＜y若a、b、c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.【思路点拨】利用基本不等式解决．【证明】 a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2≥ac＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立，∴a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lga＋b2·b＋c2·c＋a2＞lgabc，∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.【证明】要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2. a＞0，故只要证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22a＋1a＋2，已知a＞0,求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.从而只要证2a2＋1a2≥2a＋1a，只要证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证．用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已经证明过的不等式，B为要证明的不等式)．它的常见书面表达是“因为……所以……”或“⇒”(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需证……”或“⇐”．1．已知非零向量a⊥b，求证：|a|＋|b||a...
