全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G作GE射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC，,cm4,6,900BDcmBCCABADC平分，那么点D到直线AB的距离是cm.②如图2，已知，21，43.BACAP平分求证：.图1图2①2（提示：作DEAB交AB于点E）②21，PNPM，43，PQPN，BACPAPQPM平分,.(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分BAC.0180BA求证：.图3练习二：已知如图4，四边形ABCD中，..,1800BADACCDBCDB平分求证：图4练习三：如图5，,,900CABAFDABCDACBABCRt平分，垂足为，中，交CD于点E，交CB于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE沿AB向右平移到'''EDA的位置，使点'E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5图6练习四：如图7，90AADBC，∠∥，P是AB的中点，PD平分∠ADC．求证：CP平分∠DCB．图7练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．图8练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。FEDCBA图9ADECBP2143BCADEF2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF∥射线OB（1）.例题应用：①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证：1()2BEACAB证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，图1所以AD为∠BAC的对称轴，又因为BE⊥AD于F，所以点B和点F关于AD对称，所以BE=FE=12BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，所以BE=12FC=12（AC－AF）=12（AC－AB），所以1()2BEACAB。②．已知：如图2，在中ABC，,,ADABDBCADBAC且于交的角平分线)(21.ACABAMMADADCM求证：的延长线于交作图2分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CE∥AB交AM的延长线于点E..221.1EEDCEB，，.ACECDCEBBADAB44433，，.ACECEDEC，).(212ACABAMACABDEADAMAE，例题变形:如图，21，的中点为ACB，.,NFBANMFBCM于于求证：①;2BMEF②).(21FNFMFB(3).模型巩固：练习一、如图3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。图3练习一变形：如图4，在△ODC中，，090DCEOEDCOEC的角平分线，且是，过点E作..之间的关系，并证明与猜想：线段于点交ODEFFOCOCEF图4练习二、如图5，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求证：DE∥BC图5练习三、如图6，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E是DC中点。ACDEBABCDE图6练习四、①、如图7（a），AABCCEBD的外角平分线，过点分别是、、作BDADDEDEEDCEAE:.求证，连接、，垂足分别是∥，BC)(21ACBCABDE.图7（a）图7（b）图7（c）②、如图7（b），件不变；的内角平分线，其他条分别是、ABCCEBD③、如图7（c），的外角平分线，为的内角平分线，为ABCCEABCBD其他条件不变.则在图7（b）、图6（c）两种情况下，DE与BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8，在直角三角形ABC中，90C，A的平分线交BC于D．自C作CGAB交AD于E，交AB于G．自D作DFAB于F，求证：CFDE．GABCDEF12图8练习六、如图9所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB．MFDCBA图9练习六变形一：如图10所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中点，求证DEAB∥且1()2DEABAC．EDCBA图10练习六变形二：如图11所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求...
