一轮复习讲义一轮复习讲义直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：、、．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：――→判别式Δ＝b2－4ac>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．忆一忆知识要点相离相切相交要点梳理2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式AB＝1＋k2|xA－xB|＝(1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．忆一忆知识要点要点梳理3．求过点P(x0，y0)的圆x2＋y2＝r2的切线方程(1)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则以P为切点的圆的切线方程为：.(2)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过P的切线方程可设为：y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．忆一忆知识要点x0x＋y0y＝r2要点梳理4．圆与圆的位置关系的判定设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，则有：C1C2>r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2；C1C2＝r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2；|r1－r2|r判断；(2)充分利用直角三角形；(3)两半径互相垂直，形成等腰直角三角形．解(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r＝5，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝|m|22＋(－1)2＝|m|5， 直线与圆无公共点，∴d>r，即|m|5>5，∴m>5或m<－5.故当m>5或m<－5时，直线与圆无公共点．(2)如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12.即5－m25＝1.得m＝±25，∴当m＝±25时，直线被圆截得的弦长为2.(3)如图，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，∴d＝22r，即|m|5＝22·5，解得m＝±522.故当m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法；(3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率k1·k2＝－1.探究提高已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．变式训练1方法一(1)证明由y＝kx＋1，(x－1)2＋(y＋1)2＝12，消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长AB＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝211－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时AB最小为27.方法二(1)证明圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝|k＋2|1＋k2，圆C的半径R＝23，R2－d2＝12－k2＋4k＋41＋k2＝11k2－4k＋81＋k2，而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，所以R2－d2>0，即d
