1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列三个命题，其中为真命题的是()①m⊥nn⊂α⇒m⊥α②m⊥αm⊂β⇒α⊥β③m⊥αn⊥α⇒m∥nA．①②B．②③C．③D．①解析：由直线与平面垂直的判定定理和性质定理可知②和③正确，①中m还可能在α内，或者是平面α的一条斜线．答案：B2．下面命题中：①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；②一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；③一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；④两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面．其中正确的命题有()A．2个B．3个C．4个D．0个解析：①两平面垂直的定义，正确．②可转化为判定定理证明，正确．③借助于实物或画图都可得出结论，正确．④应为在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于第二个平面，错误．答案：B3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是()A．15°B．30°C．45°D．60°解析：如图所示，连结AC交BD于O点，易证AC⊥平面DD1B1B，连结B1O，则∠CB1O即为B1C与对角面所成的角，设正方体边长为a，则B1C＝2a，CO＝22a，∴sin∠CB1O＝12.∴∠CB1O＝30°.答案：B4．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.解析：取BC中点E，连结ED、AE， AB＝AC，∴AE⊥BC. 平面ABC⊥平面BDC，∴AE⊥平面BCD.∴AE⊥ED.在Rt△ABC和Rt△BCD中，AE＝ED＝12BC＝22a，∴AD＝AE2＋ED2＝a.答案：a5．设直线m与平面α相交但不垂直，给出以下说法：①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．其中错误的是________．解析：因为直线m是平面α的斜线，在平面α内，只要和直线m的射影垂直的直线都和m垂直，所以①错误；②正确；③错误，设b⊂α，b⊥m，c∥b，c⊄α，则c∥α，c⊥m；④错误，如正方体AC1，m是直线BC1，平面ABCD是α，则平面ADD1A1既与α垂直，又与m平行．答案：①③④1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的每一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作.(2)判定定理：一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示为：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α.l⊥α两条相交a∩b＝P(3)性质：①若l⊥α，a⊂α⇒，这是我们在空间证明线线垂直的一种重要方法．②性质定理：垂直于同一平面的两条直线．用符号表示：a⊥α，b⊥α⇒.l⊥a平行a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．规定：当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，则直线和平面所成的角分别为.(2)线面角的范围为．它在平面上的射影π2和0[0，π2]3．二面角(1)二面角：从一条直线所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做．两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：αlβ或αABβ或PABQ.出发的两个半平面二面角的棱(2)二面角的平面角如图，二面角αlβ，若有①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．4．平面与平面垂直如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE.考点一直线和平面垂直的判定和性质[自主解答](1) PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥面PAC.AE⊂面PAC，故CD⊥AE.(2) PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，∴PA＝AC，又E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，AE∩BA＝A，故PD⊥面ABE.若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，当矩形ABCD满足什么条件时，有PC⊥BD？解：若PC⊥BD，又PA⊥BD，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，即矩形ABCD的对角线互相垂直．∴矩形ABCD为正方形，即当矩形ABCD为正方形时，PC⊥BD.如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：如图，取PD的...
