第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.3倍角公式学习目标1.能由两角和的正弦、余弦和正切公式推导二倍角的正弦、余弦和正切公式.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.能够正确运用倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明恒等式.重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式.难点：倍角公式与以前学习的同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用.知识梳理思考：你能根据前面学过的内容，写出由α的三角函数值求出sin2α，cos2α，tan2α的一般公式吗？如果在两角和的正弦公式Sα+β中，令β＝α，则可得出求sin2α的公式，即sin2α＝sin（α+α）＝sinαcosα+cosαsinα＝2sinαcosα.类似地，可得cos2α＝cos（α+α）＝cosαcosα-sinαsinα＝cos2α-sin2α，tan2α＝tan（α+α）＝＝.因此：，：，：.这3个公式称为倍角公式.需要注意的是，因为sin2α+cos2α＝1，所以C2α也可改写为cos2𝛼＝2cos2𝛼−1＝1−2sin2𝛼.1.二倍角的“广义理解”：二倍角的“倍”是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想.2.一般情况下，sin2α≠2sinα，如≠，只有当α＝nπ，n∈时，sin2α＝2sinα才成立，同理cos2α＝2cosα，tan2α＝2tanα在一般情况下也不成立.3.对于公式S2α和C2α，α∈，但是在使用公式T2α时，要保证公式的左、右两边都有意义.【名师点拨】常考题型一、利用倍角公式化简、求值1.给角求值例1计算：（1）12sin12cos；（2）1-2sin2750°；（3）22tan1501tan150.【解】（1）原式＝212122sincos＝62sin＝14.（2）原式＝cos（2×750°）＝cos1500°＝cos（4×360°+60°）＝cos60°＝12.（3）原式＝tan（2×150°）＝tan300°＝tan（360°-60°）＝-tan60°＝-3.◆给角求值问题的解法（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.◆利用倍角公式求值常用的解题步骤1.寻找所给角与已知角、特殊角之间的倍、半、和、差关系；2.根据所求值的结构，选择适当的和差角公式及倍角公式；3.将所求的三角函数式转化为已知角的三角函数式.训练题1.sin15°sin75°的值是（）A.B.C.D.2.sin4cos4的值等于（）A.B.C.D.CB3.［2019·内蒙古呼和浩特六中高二期末］123684tansinsin+32cos212°的值为（）A.4B.8C.16D.32C4.求cos72°cos36°的值.解：cos72°cos36°＝2363672236sincoscossin＝27272436sincossin＝144436sinsin＝14.2.化简例2化简：2221244costansin.【解】原式＝222cos12444sincoscos＝221244cossinacos＝2212coscos＝22coscos＝1.◆三角函数式的化简要求①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.◆三角函数式的化简方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂.③一个重要结论：（sinθ±cosθ）2＝1±sin2θ.2.化简下列各式：（1）12080120coscoscos；（2）11tan-11tan.训练题1.136cos等于（）A.2sin18°B.2cos18°C.cos18°-sin18°D.sin18°-cos18°解：（1）原式＝222sin10sin102sin10＝222sin102sin10＝2.（2）原式＝1tan(1tan)(1tan)(1tan)＝22tan1tan＝tan2θ.B3.化简：111122222cos，α∈3,22.解： α∈3,22，∴cosα>0.由倍角公式得11222cos＝cosα，∴原式＝1122cos.又2∈3,4，∴2sin>0，从而1122cos＝2sin，即原式＝2sin.二、条件求值例3已知4sinx＝513，0
