(掌握一元二次不等式的解法)6.2一元二次不等式１．一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}∅∅R{x|x∈R且x≠}提示：利用分解因式的方法求解不等式时，要注意各因式中未知数的系数是否为正，再结合不等号的方向写出解集．口诀是“大于取两边，小于取中间”．2．简单分式不等式的解法：提示：分式不等式的一侧不为0时，要进行移项、通分、整理，进而转化为整式不等式．1．(2009·北京卷)设集合A＝，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x<2}B.C．{x|x<2}D．{x|1≤x<2}解析：B＝{x|－1≤x≤1}，∴A∪B＝{x|－1≤x<2}．答案：A2．不等式x2>x的解集是()A．(－∞，0)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：x2－x>0，解得x<0或x>1.答案：D3．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)＜1对任意实数x成立，则()A．－1＜a＜1B．0＜a＜2解析：(x－a)(x＋a)＜1对任意实数x成立，即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x成立．∴x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立．∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，答案：C4．不等式的解集是________．解析：原不等式等价于答案：{x|x<－2}1.解一元二次不等式的方法及注意事项：(1)化二次项系数为正值，同时注意判别式与因式分解的灵活运用．(2)与二次函数的图象相结合，注意解集的端点是否在区间内．(3)特别注意解集为R和∅两种特殊情况．2．分式不等式可转化为一元二次不等式(或不等式组)进行求解．【例1】解下列不等式：解答：(1)原不等式可化为即2x2－3x＋1≤0.即(2x－1)(x－1)≤0.所以原不等式的解集为(2)原不等式等价于因此原不等式的解集为此类问题是解不等式的逆向思维问题，要在熟练掌握不等式解法的基础上进行求解．【例2】(1)关于x的不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，则实数a＝________.(2)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集是________．解析：(1)原不等式可化为 解集为{x|x＜1或x＞2}，∴a－1＜0且(2)由已知条件知a＜0，且即不等式cx2＋bx＋a＜0即x2＋x－6＜0，其解集为(－3,2)．变式2.若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的范围是________．解析： (a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，∴由①得a＞－2，由②得a≤－3或a≥2.答案：[2，＋∞)解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0、小于0、还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根B的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．【例3】解下列关于x的不等式：(1)x2－(a＋a2)x＋a3>0；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.解答：(1)将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.当a<0时，有a
a2}；当0a2，解集为{x|xa}；当a>1时，有aa2}；当a＝0时，解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a＝1时，解集为{x|x∈R，且x≠1}．(2)若a＝0，原不等式⇔－x＋1<0⇔x>1.若a<0，原不等式⇔(x－1)>0⇔x<或x>1.若a>0，原不等式⇔(x－1)<0.(*)其解的情况应由与1的大小关系决定，故①当a＝1时，(*)式⇔x∈∅；②当a>1时，(*)式⇔1}；当01时，解集为变式3.已知不等式＞0(a∈R)．(1)解这个关于x的不等式；(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．解答：(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.①当a＝0时，由－(x＋1)＞0，得x＜－1；②当a＞0时，不等式化为(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞；综上所述，a＜－1时，解集为a＝－1时，原不等式无解；－1＜a＜0时，解集为a＝0时，解集为{x|x＜－1}；a＞0时，解集为(2) x＝－a时不等式成立，∴＞0，即－a＋1＜0，∴a＞1，即a的取值范围为a＞1.1．一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间有着密切的联系，解任何一方面的问题...
