高中数学 第二章223第二课时等差数列的前n项和精品课件 苏教版必修5 课件VIP专享VIP免费

第二课时•课标要求：1.掌握与和有关的等差数列的一些常用性质．•2．应用通项公式及求和公式等解决一些等差数列的问题，提高综合能力．•重点难点：本节重点：等差数列求和的有关性质及应用．•本节难点：等差数列的性质与公式的综合运用及变形技巧．课标定位基础知识梳理性质2：若Sn是等差数列{an}的前n项和，则数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，也是等差数列，且公差为____(其中d为数列{an}的公差)．性质3：若{an}，{bn}为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝_____.n2dS2n－1T2n－1课堂互动讲练题型一题型一等差数列前n项和公式的性质此类问题考察的主要是等差数列前n项和公式的性质的灵活应用．等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.【分析】可由等差数列的前n项和公式求解，也可由等差数列前n项和的性质，即等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解．【解】法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋nn－12d.由已知得10a1＋10×92d＝100，①100a1＋100×992d＝10.②①×10－②整理得d＝－1150，代入①，得a1＝1099100，∴S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092×(－1150)＝110×(1099－109×11100)＝－110.故此数列的前110项之和为－110.法二：设Sn＝an2＋bn. S10＝100，S100＝10，∴102a＋10b＝100，1002a＋100b＝10，解得a＝－11100，b＝11110.∴Sn＝－11100n2＋11110n.∴S110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.法三：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D.则此数列前10项的和为10S10＋10×92·D＝S100＝10，解得D＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.∴S110＝－120＋S100＝－110.法四： S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90a11＋a1002＝90a1＋a1102，又S100－S10＝10－100＝－90，∴a1＋a110＝－2.∴S110＝110a1＋a1102＝－110.法五：由Sn＝na1＋nn－12·d，得Snn＝a1＋(n－1)·d2.∴可建立n与Snn的函数关系，则点n，Snn是直线y＝d2·(x－1)＋a1上的一串点，即这些点共线，从而每两点连线的斜率相等，∴点(10,10)、(100，110)、(110，S110110)共线，∴S110110－110110－100＝10－11010－100，解得S110＝－110.•【点评】由本题可得到求等差数列前n项和的常用方法：(1)直接代入公式，列方程组求解；(2)灵活运用等差数列前n项和的性质；(3)利用前n项和的二次函数性质．•1．一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为3227∶，求公差d.变式训练变式训练解：法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多354×32－2732＋27，其值为6d，则d＝[354÷(32＋27)]×5÷6＝5.法二：由题意知12a1＋12×112d＝354，①6a1＋d＋6×52·2d6a1＋6×52·2d＝3227，②由①知6a1＝177－33d，③将③代入②得(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，解得d＝5.题型二题型二等差数列前n项的和的最值问题求数列的最值问题，可以参考函数的最值问题的处理方法，当然也应注意由数列本身的特点所决定的一些方法，如用an≥0an＋1≤0或an≤0an＋1≥0来确定最值．已知等差数列5,427，347，…的前n项和为Sn，求使得Sn取最大值时序号n的值．例例22【分析】等差数列的前n项和公式可以写成Sn＝d2n2＋(a1－d2)n，所以Sn可以看成函数y＝d2x2＋(a1－d2)x(x∈N*)当x＝n时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数求最值的方法来求n的值．【解】由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以Sn＝n2[2×5＋(n－1)(－57)]＝75n－5n214＝－514(n－152)2＋112556.于是，当n取与152最接近的正整数即7或8时，Sn取最大值．•【点评】(1)对于本题，也可先由an≥0求得n的值，再代入前n项和公式求最值．•(2)根据项的值判断前n项和的最值有以下结论：•①当a1＞0，d＞0时，a1＜a2＜a3＜…＜an＜an＋1＜…，则S1最小；•②当a1＞0，d＜0时，a1＞a2＞a3＞…＞an＞0≥an＋1＞…，则Sn最大；•③当a1＜0...