第三节几何概型第三节几何概型考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理基础梳理1．几何概型的定义对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是______、_________、_________等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．线段平面图形立体图形2．几何概型的概率公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝___________.这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．d的测度D的测度思考感悟几何概型与古典概型的区别是什么？提示：几何概型中的基本事件是无限多个，而古典概型中的基本事件是有限个．课前热身课前热身1．(2010年高考湖南卷)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．答案：232．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为__________．解析：根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P＝S椭圆S矩形，而P＝300－96300＝0.68，S矩形＝24，故S椭圆＝P·S矩形＝0.68×24＝16.32.答案：16.323．(2011年南通调研)在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是__________．解析：由几何概型的知识知P＝2500＝0.004.答案：0.0044.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．答案：16考点探究·挑战高考与长度有关的几何概型考点突破考点突破如果一次试验中所有可能结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间、距离路程等，那么只需求出各自对应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求事件A发生的概率．例例11在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．【思路分析】满足条件的弦有无数条，所以不是古典概型，从几何概型角度考虑．【解析】记事件A＝“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.【答案】12【名师点评】解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．因此，把问题转化成为：直径上到圆心O的距离小于12的点构成的线段长与直径长之比．与面积或体积有关的几何概型当事件A可以用面积(或体积)来衡量时，我们可以利用其与整体事件所对应的面积(或体积)的比值来计算事件A发生的概率，也就是用“面积比”(或“体积比”)来计算概率．例例22已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．【思路分析】(1)为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解；(2)为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的个数即可．【解】(1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)≤4的点(x，y)有6个，∴所求的概率P2＝625.【名师点评】(1)本例中第(1)小题与第(2)小题分别考查了几何概型与古典概型，故判断所求概率模型的类型是关键，而判断的主要依据是试验结果的有限性或无限性．(2)对于几何概型问题，根据题意列出...
