第四节直线与平面垂直第四节直线与平面垂直考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理基础梳理1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的___________________，那么这条直线和这个平面垂直．该直线叫做这个平面的垂线，该平面叫做这条直线的垂面．即对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的______________直线．所有直线都垂直任意一条(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_____________都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．它的数学符号表示为：如果______________________________________，那么l⊥α.(3)性质定理：同垂直于同一个平面的两条直线_________．符号表示：_________________________.相交直线m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n平行a⊥α，b⊥α，则a∥b(4)点到平面的距离：从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和___________间的线段长，叫做这个点到这个平面的距离．2．斜线在平面内的射影垂足(1)过一点向平面引垂线，垂足叫做这个点在这个平面内的射影；当这一点在平面内时，该点在平面上的射影就是它自身；这一点与_________之间的线段长叫做这点到这个平面的距离．(2)一条直线和一个平面相交，但不垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做_________．射影斜足从平面外一点向平面引斜线，这点与_________间的线段叫做这点到这个平面的斜线段．如上图所示，直线PR∩α＝R，PR不垂直于α，直线PR是α的一条斜线，点R为斜足，线段PR是点P到α的斜线段．(3)平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有_______条．斜足无数(4)从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影．如上图所示，直线QR是直线PR在平面α上的射影，线段QR是点P到平面α的斜线段PR在平面α上的射影．(5)斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上．3．直线与平面所成的角(设为θ)(1)斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的_______所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．射影锐角(2)当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是_______；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为________.0°直角直线l和α的位置关系l⊂α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范围θ＝______θ＝_____θ∈___________0°90°(0，π2)思考感悟如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面是否垂直？提示：不一定垂直，若平面内一组平行线与直线l垂直，但直线l与平面的关系是不确定的．1．三棱锥的四个面中直角三角形最多有________个．答案：42．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是________．答案：①③课前热身课前热身3．下列说法正确的个数是________．①若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直③若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行④两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直答案：14．给出下列四个说法：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在第一个平面内．其中正确的是________．答案：④考点探究·挑战高考直线与平面垂直的判定考点突破考点突破证明线面垂直的方法和常用结论(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．(4)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．(5)一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．(6)两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．如图...
