福建省高考数学一轮总复习 第23讲 三角函数的性质课件 文 新课标 课件VIP免费

1.理解三角函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性与周期性；2.会判断简单三角函数的奇偶性；会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及其周期；3.熟悉三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．1．基本三角函数的性质1sin(0)()()22cos(0)()2()3ta2.sincos.n3(0)()2yxkkxkkyxkkxyAxbyAxbkkkyxkAbAbZZZZZ的对称中心为，；对称轴为．的对称中心为，；对称轴函数和的最大值为，最小值为为．的对．对称性称中心为，；无对称轴．1.函数f(x)＝2sin(x3－π4)(x∈R)的最小正周期为()A.π3B.π2C．3πD．6π【解析】由周期公式T＝2π13＝6π.2.下列函数中，在[π2，π]上是增函数的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝tanxD．y＝cos2x【解析】y＝sinx和y＝cosx在[π2，π]上是减函数，y＝tanx在x＝π2时无定义，y＝cos2x在[π2，π]上是增函数，故选D.3.(2012·福州模拟)已知函数f(x)＝sin(π2－x)，下面结论错误的是()A．函数的最小正周期为2πB．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称C．函数f(x)为奇函数D．函数f(x)在[0，π2]上为减函数【解析】f(x)＝sin(π2－x)＝cosx，为偶函数．4.函数y＝sin(x＋π4)，x∈(－π2，π2)的值域是(－22，1].【解析】因为x∈(－π2，π2)，所以x＋π4∈(－π4，3π4)，所以由正弦函数的图象可得y∈(－22，1]，故填(－22，1]．易错点：没有结合正弦函数的图象，直接代入端点求值．5.若函数y＝asinx＋b(a>0)的最大值是3，最小值是－1，则a＝2，b＝1.【解析】由已知得a＋b＝3－a＋b＝－1，解得a＝2b＝1，故填a＝2，b＝1.一三角函数的对称性、奇偶性【例1】(1)已知f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)为偶函数，求θ的值；(2)求f(x)＝sin(2x＋π3)的对称轴方程，对称点坐标．【解析】(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则有sin(－x＋θ)＋3cos(－x－θ)＝sin(x＋θ)＋3cos(x－θ)，即sin(x＋θ)＋sin(x－θ)＝3cos(x＋θ)－3cos(x－θ)，所以2sinxcosθ＝－23sinxsinθ.因为该式对一切实数x都成立．所以tanθ＝－33，于是θ＝kπ－π6(k∈Z)．(2)由2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π12(k∈Z)，即为所求对称轴方程．由2x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2－π6，即对称点坐标为(kπ2－π6，0)(k∈Z)．【点评】(1)对于奇偶函数的问题，一般都要根据定义列出等式，从而寻求解题途径．对于本题，列出的是含有x、θ的方程，并不能立即求出θ，解决这类问题的方法是边化简，边探索，边求解．同时，若f(x)＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)为奇函数，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)为偶函数，当φ≠kπ2(k∈Z)时，f(x)为非奇非偶函数．(2)对称轴为直线、对称点为图象平衡位置点，常混淆，应找准y＝sinx，y＝cosx的对称性，再整体代换．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)．(1)y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝5π8，求φ；(2)y＝f(x)为偶函数，求φ；(3)若φ＝kπ(k∈Z)，试证明y＝f(x)为奇函数．素材1【解析】(1)因为x＝5π8是函数y＝f(x)的一条对称轴，则当x＝5π8时，y取最值，所以sin(2×5π8＋φ)＝±1，所以5π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．又－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由f(x)为偶函数，则当x＝0时，y取最值，所以sin(2×0＋φ)＝±1，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)．又－π<φ<0，所以φ＝－π2.(3)因为f(x)的定义域为R，即定义域关于原点对称；当φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝sin(2x＋kπ)＝sin2xk为偶数－sin2xk为奇数.又f(－x)＝sin－2xk为偶数－sin－2xk为奇数＝－sin2xk为偶数sin2xk为奇数＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数．二三角函数的值域与最值【例2】(1)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，x∈[0，π2]，求f(x)的值域．(2)求函数y＝sinxcosx＋cosx＋sinx的最大值和最小值．【解析】(1)f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，7π6]，所以－12≤sin(2x＋π6)≤1，所以－1≤f(x)≤2.故f(x)的值域为y∈[－1,2]．(2)令t＝sinx＋cosx，则t2＝1＋2sinxcosx，所以sinxcosx＝t2－12，...