掌握圆的标准方程和一般方程，能根据条件用待定系数法求得圆的方程，并能应用圆的方程知识解决简单的问题．22222222222__________()(0).0(40)______________________0.14___024___0(232)12abrrrxyrxyDxEyFDEFrDEFDEDEF圆的标准方程为①，其中圆心为，，半径为＞．特别地，圆心在原点，半径为的圆的方程为圆的一般方程为＞，圆心为②，半径③＞注意：当④时，表示圆；当⑤时，表示一个点，．；．224___0DEF当⑥时，不表示任何图形．22200________________________________________.()__________________________3.4xaybrMxy．确定圆的方程的方法和步骤．点与圆的位置确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：⑦；⑧；⑨点和圆的位置关系有三种：设圆的标准方程为，点，．⑩点在圆上：；点在圆外：；点在圆内：关系22222222002222220000()22142DExaybrDEFabrDEFabrDEFxaybrxaybrxaybr①；②，；③；④＞；⑤；⑥＜；⑦根据题意，选择标准方程或一般方程；⑧根据条件列出关于，，或、、的方程组；⑨解出，，或，，，代入标准方程或一般方程；⑩；；【要点指南】1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别是(C)A．(4，－6)，16B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4D．(2，－3)，162.方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a∈RB．a≠1且a∈RC．a≠0且a∈RD．a∈(1,4]【解析】方程表示圆，则a≠0[－4a－1a]2＋4a2－4×0>0，解得a≠0，a∈R，故选C.3.当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(A)A．这些圆的圆心都在直线y＝x上B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上C．这些圆的圆心都在直线y＝x或y＝－x上D．这些圆的圆心不在同一条直线上4.经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为(A)A．x－y＋3＝0B．x－y－3＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋3＝05.若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0关于直线x－y＋1＝0对称，则实数a的值为3.【解析】由已知，圆心(－a2－12，－a)在直线x－y＋1＝0上，则－a2－12＋a＋1＝0，解得a＝－1或a＝3.而当a＝－1时，原方程不能表示圆；当a＝3时，原方程表示圆．故a＝3为所求．一求圆的方程【例1】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．【分析】要求圆的标准方程，必须找出圆心坐标和半径．【解析】由已知求得AB的垂直平分线l′的方程为x－3y－3＝0.圆心C的坐标是方程组x－3y－3＝0x－y＋1＝0的解，解得x＝－3y＝－2.半径r＝|AC|＝1＋32＋1＋22＝5.故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.【点评】充分探究已知条件所涉及的几何性质并灵活运用，既能准确获知求解思路，又能简化解答过程．根据下列条件求圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．素材1【解析】(1)过切点P(3，－2)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝22.所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则1＋144＋D＋12E＋F＝049＋100＋7D＋10E＋F＝081＋4－9D＋2E＋F＝0，解得D＝－2E＝－4F＝－95.所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．【分析】根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解．【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值．此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(2)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值...
