第47讲排列与组合的综合应用题【学习目标】1．进一步理解排列、组合的概念，了解计数原理的思想，熟练掌握排列、组合计算公式．2．提升综合应用排列组合的知识解决一些简单的应用问题的思维能力和分类讨论的数学思想．【基础检测】1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门课程，则每位同学不同的选修方案种数是()A．120B．98C．63D．56B【解析】分两类：第一类，A，B，C三门课都不选，有C73＝35种方案，第二类，A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有C31C72＝63种方案，故共有35＋63＝98种方案．2．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．420B．560C．840D．20160C【解析】从下层8件中取2件，有C82种取法，放到上层时，若这两件相邻，有A51A22种放法，若这两件不相邻，有A52处放法，所以不同调整方法的种数是C82(A51A22＋A52)＝840.故选C.3．从0，1，2，3中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是____(用数字回答)．10【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况．(1)没0：2必填个位，A22种填法；(2)有0：0填个位，A32种填法；0填十位，2必填个位，A21种填法．所以，偶数的个数一共有A22＋A32＋A21＝10个．4．已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素，构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为____．33【解析】若不考虑限定条件，确定的点的个数为C11C21C31A33＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的相同的点有三个．故所求的个数为36－3＝33.【知识要点】1．求解排列与组合的综合应用题，通常有三条途径：(1)以元素为分析对象，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，即优元法；(2)以位置为分析对象，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，即优位法．这两种方法都是直接法；(3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数，即间接法．2．解决排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法与位置分析法；插空法与捆绑法等．3．解答组合应用题的总体思路为：(1)整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时用分类计数原理．(2)局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算结果时用分步计数原理．(3)辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷；有时“位置选元素”，效果会更好．一、分组分配问题例1按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【解析】(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C61种选法；再从余下的5本中选2本有C52种选法；最后余下3本全选有C33种选法，故分配方式有C61C52C33＝60种．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，分配方式有C61C52C33A33＝360种．(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应有C62C42C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C62C42C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)共A33种情况，而这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C62C42C22A33＝15种．(4)有序...
