进入学案学案22空间的平行直线与异面直空间的平行直线与异面直线线考点一考点二考点三1.空间两条直线的位置关系有三种：.2.平行直线定义同一平面内两条不相交的直线称为.公理4平行于同一条直线的两条直线.3.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边别，那么这两个角相等.平行、相交、异面互相平行平行直线平行并且方向相同返回目录4.（1）异面直线的定义异面直线是指一个平面内的两条直线.（2）异面直线的判定方法连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内的直线是异面直线.（3）异面直线所成的角定义直线a,b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′a,b′b∥∥，我们把直线a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.（4）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线.互相垂直不同在任何不经过此点锐角（或直角）返回目录【例1】如图9-2-5所示,已知E，F分别是正方体AC1的棱AA1，CC1上的点，且AE=C1F，求证：四边形EBFD1是平行四边形.【分析】证明四边形EBFD1的一组对边平行且相等.考点一平行直线返回目录【证明】在平面CDD1C1中，过C作CGD∥1F交DD1于点G，连EG，CG，在平面CDD1C1中易知DG=C1F，∴DG=AE,∴DGAE,∴四边形ADGE为平行四边形.∴EGAD，又ADBC，∴EGBC，∴四边形BEGC为平行四边形.∴BEGC，又GCD1F,BED∴1F,∴四边形EBFD1为平行四边形.=======【评析】本题运用公理4证明了BED1F，关键利用了CG这一中间桥梁.=返回目录已知棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，M，N分别是CD，AD的中点，求证：MNA′C′是梯形.如图，连结AC， M,N为CD，AD的中点，∴MNAC.由正方体性质可知ACA′C′,∴MNA′C′,∴四边形MNA′C′是梯形.＊对应演练＊＊对应演练＊21==21=返回目录【例2】如图9-2-6，已知平面α∩平面β=直线a，直线bα，直线cβ,b∩a=A,ca,∥求证：b与c是异面直线.【证明】证法一：假设b与c不是异面直线，则b与c或平行或相交.（1）若bc,∥ ca,ab∥∴∥，这与b∩a=A矛盾，∴b不平行于c.考点二异面直线的判定【分析】证明两条直线异面常用反证法或判定定理.返回目录（2）若b与c相交，设b∩c=B, Bb∈且bα,Bα.∴∈ Bc,cβ,Bβ.∈∴∈∴B是α与β的公共点.又α∩β=a,Ba.∴∈又Bc,a∩c=B.∈∴这与ac∥矛盾.∴b与c不能相交.综合（1）（2）知b与c是异面直线.证法二：假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α=b,γ∩β=c, ac,aγ,∥∴∥又aα且α∩γ=b,∴ab∥，这与a∩b=A矛盾.因此b与c不可能共面.故b与c是异面直线.返回目录证法三： cβ,a∩b=A,α∩β=a,∴Aaβ,∈由ac∥，有Ac,在直线b上任取不同于A的点B， bα,Bβ,∴∴AB与c为异面直线，即b，c异面.【评析】证法一、证法二是根据空间直线的三种位置关系，采用反证法证的.反证法的关键一步是出现矛盾，常常与已知公理、定义、定理或题设矛盾.证法三是直接从已知条件出发，运用异面直线的判定定理，导出结论的直接证法.返回目录如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.（1）不是异面直线.理由： M,N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MNA∥1C1.又 A1AD1D,而D1DC1C，∴A1AC1C，四边形A1ACC1为平行四边形，∴A1C1AC∥，∴MNAC,∥∴A,M,N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.＊对应演练＊＊对应演练＊===返回目录（2）是异面直线.证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC平面CC1D1，这与BC是正方体的棱相矛盾，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.返回目录【例3】已知长方体ABCD—A′B′C′D′中AB=a,BC=b,AA′=c(a>b)，求异面直线D′B和AC所成角的余弦值.【分析】求异面直线所成角的关键是作出角，转化为可解三角形的内角.考点三异面直线所成的角返回目录【解析】方法一：平移法.如图,连结BD交AC于E，取DD′的中点F，连结EF.则EFD′B.∴∠FEA是D′B和AC所成的角或为其补角. AE=,且EF=,AF=，∴在△FEA中， a>b,cosEFA>0,∴∠∴D′B与AC所成...
