第二节导数的应用第二节导数的应用教材面面观1．函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若________，则f(x)为增函数；若________，则f(x)为减函数．(2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法．①确定函数f(x)的________．②求f′(x)，令________，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根．③把函数f(x)的间断点(即包括f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．④确定f′(x)在各小开区间内的________，根据________判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．答案f′(x)＞0f′(x)＜0定义区间f′(x)＝0符号f′(x)的符号2．极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近所有的点都有________，则称f(x0)为函数的一个极大(小)值，称x0为极大(小)值点．答案f(x)＜f(x0)[或f(x)＞f(x0)]3．函数的最大值与最小值(1)设y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内有导数，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分两步进行．①________________________________.②将y＝f(x)在______________________比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调增加，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(a)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．答案求y＝f(x)在(a，b)内的极值各极值点的极值与f(a)、f(b)f(a)f(b)f(a)f(b)考点串串讲1．函数的单调性(1)利用导数判断函数单调性的基本方法设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，①如果恒有f′(x)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内为增函数．②如果恒有f′(x)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内为减函数．③如果恒有f′(0)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)内为常数函数．注意若函数f(x)在(a，b)内，f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(其中有限个点f′(x)＝0)，则函数f(x)在(a，b)内仍是增函数(或减函数)．例如：f(x)＝x3在(－∞，＋∞)内为增函数，但f′(0)＝0，故在区间内f′(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．(2)求可导函数单调区间的一般步骤①确定函数f(x)的定义区间．②求f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根．③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．④确定f′(x)的各小开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性．(3)利用导数证明不等式要证明不等式g(x)＞φ(x)(或g(x)≥φ(x))成立，可以构造函数f(x)＝g(x)－φ(x)，然后再利用导数研究函数f(x)＝g(x)－φ(x)的单调性，根据单调性获得f(x)＞0(或f(x)≥0)，从而证明不等式g(x)＞φ(x)(或g(x)≥φ(x))．(4)利用单调性求函数的值域利用导数划分函数的单调区间，然后在各个单调区间内求出函数的取值范围，最后可获得函数在整个定义域内的值域．(5)利用导数求参数的取值范围对于含有参数a的函数y＝f(x，a)，若已知此函数的某一单调增区间(或减区间)，则此函数的导数y′≥0(或y′≤0)在此区间上恒成立，对此，常用分离系数求最值的方法来求参数的取值范围．(6)利用导数判断函数的单调性及单调区间应注意的问题①在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．②在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，要注意在定义域内的不连续点和不可导点．③注意在某一区间内f′(x)＞0或f′(x)＜0是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件，如f(x)＝x3是R上的增函数，但当x＝0时，f′(0)＝0，因此在求可导函数y＝f(x)的单调增区间时只需解不等式f′(x)＞0，而已知可导函数y＝f(x)在区间P上单调递增，则必须f′(x)≥0在D上恒成立(其中f′(x)＝0的点x有限)．④如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．2．函数的极值(1)函数极值的定义设函数f(x)在x0附近...
