第三节函数的奇偶性与周期性基础知识梳理1．奇偶函数的定义(1)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)基础知识梳理1.有没有函数既是奇函数又是偶函数？【思考·提示】有，常数函数f(x)＝0(其定义域关于原点对称)，既是奇函数又是偶函数．基础知识梳理2．具有奇偶性的函数的图象特点一般地，奇函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数是偶函数．原点原点y轴y轴基础知识梳理3．函数奇偶性的判定方法(1)根据定义判定：首先看函数的定义域是否，若，则函数是非奇非偶函数；若，再判定或．有时判定比较困难，可考虑判定或判定．关于原点对称不对称对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)f(－x)＝±f(x)f(－x)±f(x)＝0f(x)f(－x)＝±1，(f(－x)≠0)基础知识梳理(2)性质法判定：①在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为；两偶函数之积(商)也为；一奇一偶函数之积(商)为(注意取商时分母不为零)；②偶函数在区间(a，b)上递，则在区间(－b，－a)上递；奇函数在区间(a，b)与(－b，－a)上的．偶函数偶函数增(减)减(增)增减性相同奇函数基础知识梳理4．函数的周期性对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么f(x)是周期函数，T是它的周期．对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小的正数叫最小正周期．若T是函数的一个周期，则也是函数的周期．f(x＋T)＝f(x)nT(nN∈*)基础知识梳理2.有没有函数是周期函数，但没有最小正周期？【思考·提示】常数函数是周期函数，但没有最小正周期．三基能力强化1．(2009年高考重庆卷)若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.解析： f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即12－x－1＋a＝－12x－1－a，得：2a＝1，a＝12.答案：12三基能力强化2．函数f(x)，g(x)在区间[－a，a](a>0)上都是奇函数，则下列结论：①f(x)－g(x)在[－a，a]上是奇函数；②f(x)＋g(x)在[－a，a]上是奇函数；③f(x)·g(x)在[－a，a]上是偶函数；④f(0)＋g(0)＝0，其中正确的个数是________个．答案：4三基能力强化3．(2010年福建宁化模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则f(－2)等于________．解析： f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.答案：－3三基能力强化4．(2010年宁夏银川模拟)设f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝，则当x<0时，f(x)＝________.1x解析： f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝1x，∴当x<0时，－x>0，f(－x)＝1－x，－f(x)＝1－x，∴当x<0时，f(x)＝1x.答案：1x三基能力强化5．(2010年山东日照模拟)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)．若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是________．解析：因为f(x)是偶函数，且在[－1,0]上是减函数，所以在[0,1]上是增函数．由f(x＋2)＝f(x)得函数的周期为2，所以在[2,3]上是增函数．答案：增函数课堂互动讲练本类问题，主要是考奇偶函数的定义，准确理解定义并作出判断，要求达到“快而精准”，对一些典型的函数应当加以记忆．判断函数的奇偶性考点一课堂互动讲练例例11讨论下述函数的奇偶性：(1)f(x)＝16x＋1＋2x2x；(2)f(x)＝ln(x＋1＋x)(x>0)0(x＝0)ln(1－x＋－x)(x<0)；(3)f(x)＝log2(1－x2＋x2－1＋1)；(4)f(x)＝a2－x2|x＋a|－a(常数a≠0)．课堂互动讲练【思路点拨】判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是否关于原点对称，再研究f(－x)与f(x)的关系．分段函数通过作图象可直接看出其奇偶性，但是不严格，应利用定义判断出此函数的奇偶性．无理式可考虑分母有理化．课堂互动讲练【解】(1)函数定义域为R，f(－x)＝16－x＋1＋2－x2－x＝2x116x＋1＋1＝2x·1＋16x4x＋1＝16x＋1＋2x2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．课堂互动讲练(2)须要分两段讨论：①设...
