三角函数、平面向量及解三角形失分点11图象变换方向或变换量把握不准致误例1已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋π3)－3sin2x＋sinx·cosx＋2(x∈R)，该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？错解f(x)＝2cosx(12sinx＋32cosx)－3sin2x＋sinxcosx＋2＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋2＝sin2x＋3cos2x＋2＝2sin(2x＋π3)＋2.①保持y＝sinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y＝sin2x的图象；②由y＝sin2x的图象向右平移π3个单位得y＝sin(2x＋π3)的图象；③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标为原来的2倍，得y＝2sin(2x＋π3)的图象；④将所得图象向上平移2个单位得y＝sin(2x＋π3)＋2的图象．找准失分点第②步中，平移方向和平移量均错．失分原因与防范措施平移方向出错，由f(x)→f(x±a)(a>0)是左加右减，即x＋a是f(x)向左平移a个单位，x－a是f(x)向右平移a个单位．平移量出错，平移对象是x，而不是2x.我们所说的平移多少是对x说的，即“对x说话”．解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩．在平移时，如x有系数ω，则先写成ω(x＋φ)的形式．正解f(x)＝2cosx(12sinx＋32cosx)－3sin2x＋sinxcosx＋2＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋2＝sin2x＋3cos2x＋2＝2sin(2x＋π3)＋2.①由y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度得到y＝sin(x＋π3)的图象；②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得y＝sin(2x＋π3)的图象；③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得y＝2sin(2x＋π3)的图象；④最后将所得图象向上平移2个单位长度得y＝2sin(2x＋π3)＋2的图象．变式训练1为了得到函数y＝sin(2x－π6)的图象，可以将函数y＝cos2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度解析 y＝sin(2x－π6)＝cos[π2－(2x－π6)]＝cos(2π3－2x)＝cos(2x－2π3)＝cos2(x－π3)，∴将函数y＝cos2x的图象向右平移π3个单位长度．B失分点12忽视角的范围致误例2已知α、β∈(0，π)且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．错解 tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)·tanβ＝12－171＋12×17＝13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanα·tan(α－β)＝13＋121－13×12＝1. α、β∈(0，π)，∴－π<2α－β<2π，∴2α－β＝π4或5π4或－3π4.找准失分点2α－β的范围错误．失分原因与防范措施本题错误的原因是：忽略了tanα=，tanβ=-对角的范围的限制，致使2α-β的范围扩大了，从而产生增根.在解决此类问题时，可以根据函数值的正、负判断角所在的象限，求函数的定义域或角的范围时，也可以根据三角函数值缩小角的范围.3171正解 tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)·tanβ＝12－171＋12×17＝13. tanα＝13>0,0<α<π，∴0<α<π2， tanβ＝－17<0,0<β<π，∴π2<β<π，∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanα·tan(α－β)＝13＋121－13×12＝1.∴2α－β＝－3π4.变式训练2已知α、β∈(0，π2)，cosα＝55，且cosβ＝1010，求α＋β.解方法一 α、β∈(0，π2)且cosα＝55，cosβ＝1010，∴sinα＝255，sinβ＝31010，∴sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋sinβ·cosα＝255×1010＋31010×55＝22.又cosα＝55<22，cosβ＝1010<22，∴π4<α<π2，π4<β<π2，∴π2<α＋β<π，∴α＋β＝3π4.方法二 α、β∈(0，π2)且cosα＝55，cosβ＝1010，∴sinα＝255，sinβ＝31010，∴cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝－22. 0<α＋β<π，∴α＋β＝3π4.失分点13解三角形时，忽视讨论而致误例3在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝3.(1)若C＝π3，求A；(2)若A＝π6，求b.错解(1)在△ABC中，asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝12，∴A＝π6或5π6.(2)由asinA＝csinC得sinC＝csinAa＝32，∴C＝π3，由C＝π3知B＝π2，∴b＝a2＋c2＝2.找准失分点...
