高三数学总复习导与练 第七篇第四节配套课件(教师用) 理 课件VIP专享VIP免费

第4节基本不等式及其应用(对应学生用书第89页)(对应学生用书第89～90页)1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)两个平均数：a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．常用的几个重要不等式：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．(3)(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)．(4)ba＋ab≥2(a·b>0)．(5)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)．2．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：“积定和最小”)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：“和定积最大”)．质疑探究：利用基本不等式求最值时，应注意什么问题？提示：在运用基本不等式解决上述问题时要注意“一正、二定、三相等”的约束，创设一个使用基本不等式的情境．常用的技巧有：变常数、变系数、拆项等，如y＝x＋1x－2(x>2)，可化为y＝x－2＋1x－2＋2(x>2)．1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(D)(A)y＝x＋1x(B)y＝cosx＋1cosx(0＜x＜π2)(C)y＝x2＋3x2＋2(D)y＝ex＋4ex－2解析：选项A中，x＞0时，y≥2，x＜0时，y≤－2；选项B中，cosx≠1，故最小值不等于2；选项C中，x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2，当x＝0时，ymin＝322，只有选项D符合题意，故选D.2．“a>0且b>0”是“a＋b2≥ab”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件解析：当a>0，b>0时，a＋b2≥ab成立，反之不一定，如a＝b＝0时，所以“a>0且b>0”是“a＋b2≥ab”的充分不必要条件，故选A.3．当x>1时，关于函数f(x)＝x＋1x－1，下列叙述正确的是(C)(A)函数f(x)有最小值2(B)函数f(x)有最大值2(C)函数f(x)有最小值3(D)函数f(x)有最大值3解析： x>1，∴x－1>0，f(x)＝x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3，当且仅当x＝2时，取“＝”号．故选C.4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运________年，营运的年平均利润最大？解析：求得函数为y＝－(x－6)2＋11，x∈N＋，则营运的年平均利润yx＝－x－62＋11x＝12－(x＋25x)≤12－225＝2，当且仅当x＝25x时，营运的年平均利润最大，解得x＝5.答案：5(对应学生用书第90～91页)利用基本不等式证明不等式【例1】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.审题指导：证明：法一：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.同理1＋1b＝2＋ab.利用1与a＋b的关系，将1代换为a＋b并化简所以(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ab)＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.结合式子特征，用基本不等式放缩所以(1＋1a)(1＋1b)≥9.小结过程，呈现结论法二：因为a，b为正数，a＋b＝1，所以(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，对不等号左侧展开化简，并将a＋b代换为1又ab≤(a＋b2)2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，利用基本不等式放缩因此(1＋1a)(1＋1b)≥1＋8＝9.小结过程，呈现结论利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．变式探究11：已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明： a>0，b>0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.∴1a＋1b≥4.(当且仅当a＝b＝12时等号成立)利用基本不等式求最值【例2】(2009年高考天津卷)设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()(A)8(B)4(C)1(D)14思路点拨：先由已知写出a与b的关系式，然后用基本不等式求解．解析：3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1， a＞0，b＞0，∴ab≤a＋b2＝12⇒ab≤14.∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥114＝4.当且仅当a＝b＝12时，等号成立．故选B.(1)利用基本不等式求最值需关注以下三个方面：①各数(式)均为正；②和或积...