§2数列的综合应用真题热身1．(2011·四川改编)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝______.解析设数列{bn}的首项为b1，公差为d，由b3＝－2，b10＝12，得b1＋2d＝－2，b1＋9d＝12，解得b1＝－6，d＝2，∴bn＝－6＋2(n－1)＝2n－8. bn＝an＋1－an，∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋b5＋…＋b1＋a1＝7×(－6＋2×7－8)2＋3＝3.32．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________.解析 Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.13．(2011·广东)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.解析由a2＝2，a4－a3＝4得方程组a2＝2，a2q2－a2q＝4⇒q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.又{an}是递增等比数列，故q＝2.24．(2011·浙江)若数列{n(n＋4)(23)n}中的最大项是第k项，则k＝________.解析由题意知k(k＋4)(23)k≥(k－1)(k＋3)(23)k－1，k(k＋4)(23)k≥(k＋1)(k＋5)(23)k＋1，解得10≤k≤1＋10. k∈N*，∴k＝4.4考点整合1．根据数列的递推关系求数列的通项公式(1)利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明．(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)当已知数列{an}中，满足an＋1an＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差数列、等比数列)．2．常见的数列求和的方法(1)公式法求和适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一定注意公式q是否能取1.(2)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1anan＋1的数列的前n项和．其中{an}若为等差数列，则1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)．(4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法．将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(5)分组求和法一个数列即不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并．分类突破一、错位相减法求和例1(2010·全国)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．归纳拓展错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征．即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数．变式训练1已知当x＝5时，二次函数f(x)＝ax2＋bx取得最小值，等差数列{an}的前n项和Sn＝f(n)，a2＝－7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝an2n，求Tn.解(1)由题意得：－b2a＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2an＋b－a＝2an－11a. a2＝－7，得a＝1.∴a1＝S1＝－9，∴an＝2n－11.(2)bn＝2n－112n，∴Tn＝－92＋－722＋…＋2n－112n，①12Tn＝－922＋…＋2n－132n＋2n－112n＋1，②①－②得12Tn＝－92＋222＋…...
