成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修3统计第一章§7相关性§8最小二乘估计第一章课堂典例讲练2易错疑难辨析3课后强化作业4课前自主预习1课前自主预习丹顶鹤是生活在沼泽或浅水地带的一种大型涉禽，常被人冠以“湿地之神”的美称．某地区的环境条件非常适合丹顶鹤的栖息繁衍．鹤在中华文化中有着长寿的涵义，我们经常见到“松鹤延年”的壁画．有个有趣的现象，如果某村庄附近栖息的丹顶鹤多，那么这个村庄的老人的长寿率也高；某村庄附近栖息的丹顶鹤少，那么这个村庄的老人的长寿率也低．于是得出一个结论：丹顶鹤能够直接影响该村庄老人的长寿率．你认为这个结论可靠吗？1．相关性(1)变量之间的两种关系是__________和__________．(2)在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的________．函数关系相关关系散点图(3)如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条________的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是________的．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为___________，此时，可以用一条曲线来拟合．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．光滑线性相关非线性相关的2．最小二乘估计(1)如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到___________的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为_____________．如果用x表示x1＋x2＋…＋xnn，用y表示y1＋y2＋…＋ynn，则可以求得b＝x1－xy1－y＋x2－xy2－y＋…＋xn－xyn－yx1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2＝__________________________________.a＝________.这样得到的直线方程称为______________，a，b是线性回归方程的系数．最小值最小二乘法x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－nxyx21＋x22＋…＋x2n－nx2y－bx线性回归方程(2)利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用___________估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行拟合．最小二乘法1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()A．正方体的棱长和体积B．单位圆中角的度数和所对弧长C．单产为常数时，土地面积和总产量D．日照时间与水稻的亩产量[答案]D[解析]函数关系是一个变量与另一个变量之间有确定性的关系，选项A、B、C均为函数关系，日照时间与水稻的产量带有一定的随机性，故选项D正确．2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是()A．都可以分析两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者之间的关系[答案]C[解析]两个变量可能是无关的，A、D错误；两者可能不是线性相关的，此时不能用直线近似，B错误；两者的关系可能是无关的．3．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点()x0123y1357A.(2,2)B．(1.5,2)C．(1,2)D．(1.5,4)[答案]D[解析]x－＝1＋2＋34＝1.5，y－＝1＋3＋5＋74＝4，由于回归直线必过点(x－，y－)，故必过点(1.5,4)．4．若施肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为y＝250＋4x，当施肥量为50kg时，预计小麦产量为________kg.[答案]450[解析]把x＝50kg代入y＝250＋4x可求得y＝450kg.5．由一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x20，y20)得x＝1，y＝2，x21＋x22＋…＋x220＝29，x1y1＋x2y2＋…＋x20y20＝54，则线性回归方程是________．[答案]y＝1.56x＋0.44[解析]代入公式b＝x1y1＋x2y2＋…＋x20y20－20xyx21＋x22＋…＋x220－20x2＝54－20×1×229－20×12＝149≈1.56.a＝y－bx＝2－1.56×1＝0.44.则所求线性回归方程是y＝1.56x＋0.44....
