第六节椭圆考纲点击1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.了解圆锥曲线的简单应用.热点提示1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.2.各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题目.1．对椭圆定义的理解平面内动点P到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，当时，动点P的轨迹是椭圆；当时，轨迹为线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质2a＞|F1F2|2a＝|F1F2|标准方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)图形性质范围≤x≤≤x≤≤y≤≤y≤对称性对称轴：对称中心：顶点A1，A2A1，A2B1，B2B1，B2轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距|F1F2|＝离心率e＝∈a，b，c的关系c2＝－a－a－b－baabb坐标轴原点(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)(0，－b)(0，b)(－b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2－b23．点与椭圆的位置关系＝1⇔点(x0，y0)在．＞1⇔点(x0，y0)在．＜1⇔点(x0，y0)在．椭圆上椭圆外椭圆内1．椭圆的一个光学性质为：光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点．现有一个椭圆形的台球桌，椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，一个球由该椭圆的一个焦点处击出，经桌壁反弹后又回到起点，则球所走的路程为()A．4aB．2(a－c)C．2(a＋c)D．以上结果均有可能【解析】假设球由点F1处击出，①经P、Q点后返回F1，则路程为4a，②球由点F1击出经B点后返回F1，则路程为2(a+c)．③球由点F1击出，经A点返回F1，则路程为2(a-c)．【答案】D2．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1(0≤α＜2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是()A．(34π，π)B．(π4，34π)C．(π2，π)D．(π2，34π)【解析】椭圆方程化为x21sinα＋y2－1cosα＝1. 椭圆焦点在y轴上，∴－1cosα＞1sinα＞0.又 0≤α＜2π，∴π2＜α＜3π4.【答案】D3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对【解析】由题意得，∴a＝5，c＝4.∴a＋c＝9，a－c＝1.【答案】C4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．【解析】由已知得c＝23a＝2ba2＝b2＋c2，解得a2＝16，b2＝4.【答案】x216＋y24＝15．已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为________．【解析】若5＞m，则5－m5＝105，∴m＝3.若5＜m，则m－5m＝105，∴m＝253.【答案】3或253椭圆的定义及标准方程已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．【自主探究】方法一：设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，由已知条件得2a＝5＋3(2c)2＝52－32，a＝4，c＝2，b2＝12.故所求方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.方法二：设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，∴a＝4.在方程x2a2＋y2b2＝1中，令x＝±c得|y|＝b2a，在方程y2a2＋x2b2＝1中，令y＝±c得|x|＝b2a.依题意有b2a＝3，∴b2＝12.∴椭圆的方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.【方法点评】求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．【特别提醒】当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题时更简便．1．求两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且经过点的椭圆的标准方程．【解析】 椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为(a＞b＞0)．由椭圆定义，∴a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.∴所求椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.椭圆...
