第三节空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1.平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内公理2经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面A、B、C不共线A、B、C∈平面α且α是唯一的公理3如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线若P∈α,P∈β,则α∩β=a,且P∈a,,,AlBlABl公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行若a∥b,b∥c,则a∥c公理2的推论推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面若点A直线a,则A和a确定一个平面α推论2两条相交直线确定一个平面a∩b=P有且只有一个平面α,使aα,bα推论3两条平行直线确定一个平面a∥b有且只有一个平面α,使aα,bα2.空间直线与直线的位置关系(1)位置关系相交共面①共面与否平行异面一个公共点:相交②公共点个数平行无公共点异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.（4）异面直线的夹角①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.②范围：θ∈（0,].特别地，如果两异面直线所成的角是，我们就称这两条直线垂直，记作a⊥b.3.空间中的直线与平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点直线与平面相交——有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行——无公共点4.平面与平面的位置关系平行——无公共点相交——有且只有一条公共直线22典例分析题型一点、线、面的位置关系【例1】下列命题:①空间不同三点确定一个平面;②有三个公共点的两个平面必重合;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;⑥垂直于同一直线的两直线平行;⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是_______.分析根据公理及推论作判断.解由公理2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题①、②均错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;④正确;⑤中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥BC,但AB与BC不平行,所以⑥错;AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,所以⑦错;四边形AD′B′C中,AD′=D′B′=B′C=CA,但它不是平行四边形,所以⑧也错.学后反思平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.举一反三1.给出下列命题：①如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点;②经过空间任意三点的平面有且只有一个;③如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面;④不平行的两直线必相交.其中正确命题的序号为______.解析由公理3知，①错;由公理2知，②错;③对;不平行的两直线可能异面，故④错.答案③题型二证明三点共线【例2】已知△ABC的三个顶点都不在平面α内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.分析要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在△ABC所在的平面和平面α的交线上即可.证明由已知条件易知,平面α与平面ABC相交.设交线为,即=α∩面ABC. P∈AB,∴P∈面ABC.又P∈AB∩α,∴P∈α,即P为平面α与面ABC的公共点,∴P∈.同理可证,点R和Q也在交线上.故P、Q、R三点共线于.lllll学后反思证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.举一反三2.如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相...
