第五节椭圆椭圆的定义及其标准方程已知椭圆上的两点P(3,4)，(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆的两焦点为F1、F2，求△F1PF2的面积．分析(1)用待定系数法求椭圆方程．(2)△F1PF2底边长为2c，运用面积公式求之．解(1)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，∴椭圆方程为(2)由(1)得，∴S△F1PF2＝·2c·yp＝5×4＝20.211204522yx规律总结(1)当焦点位置不确定时，可以分焦点在x轴，y轴分别求解．为减少运算，其标准方程也可设为(m>0，n>0，m≠n)或Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．(2)如果运用椭圆定义则首先判断点的轨迹为椭圆，然后用待定系数法求解．(3)以椭圆上一点P，焦点F1、F2为顶点的三角形的计算，往往结合正、余弦定理，椭圆定义进行求解．变式训练1如图所示，点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．【解析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，椭圆的几何性质如图，设椭圆(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．分析思路1：由＝0，△F1PF2为直角三角形．易得边的关系，结合基本不等式求解．思路2：点P坐标可求，利用椭圆范围建立不等式求解．思路3：椭圆越“圆”，离心率越小；椭圆越“扁”，离心率越大．解方法一：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m＋n＝2a，∴m2＋n2＝4c2.由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)，方法三：当点P在上顶点且椭圆越“圆”，这样的点P就不存在了；而椭圆越“扁”，离心率越大，规律总结解析几何中求变量的取值范围主要有三种基本方法：①不等式，即将题设条件转化为关于变量的不等式，再解不等式或由不等式的性质推导出结果；②函数法，即将变量范围转化为某个函数的值域；③几何法，即利用几何性质，通过数形结合求解，求变量的最值的方法也大致如此．变式训练2设椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为求椭圆的离心率．【解析】由题设AF1⊥F1F2及F1(－c,0)，F2(c,0)，不妨设点A(c，y)，其中y>0.由于点A在椭圆上，有即解得从而得到直线AF1的方程为y＝(x＋c)，整理得b2x－2acy＋b2c＝0.由题设，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，即将c2＝a2－b2代入上式并化简得a2＝2b2，直线与椭圆的位置关系(12分)椭圆与过点A(3,0)的直线相交于PQ两点，若求直线PQ的方程．分析由得P、Q坐标关系，而P、Q是直线与椭圆交点，所求与已知联系起来得解．解设直线PQ的方程为y＝k(x－3).1分由方程组得(3k2＋1)x2－18k2x＋27k2－6＝0.3分依题意Δ＝12(2－3k2)>0，5分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由直线PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)．规律总结(1)直线与椭圆位置关系的判定．把椭圆方程(a>b>0)与直线方程y＝kx＋b联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)的形式．则：(2)直线被椭圆截得的弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(3)解决直线与椭圆的位置关系问题时，常利用数形结合法，根与系数的关系，整体代入，设而不求的思想方法．变式训练3椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1相交于A、B两点，若且AB的中点C与原点的连线的斜率为求椭圆方程．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1．椭圆的定义是解决问题的出发点，要明确基本量a，b，c，e之间的关系，几何意义及与一些概念的联系．2．椭圆的标准方程有两种形式，但总有a>b>0，焦点在长轴上(可看x2，y2所在项的分母的大小)．若椭圆的对称轴为坐标轴，可设其方程为：Ax2＋By2＝1(A≠B且A>0，B>0)．3．椭圆标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，确定椭圆的焦点所在坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2的值，最后写出椭圆的标准方程．4．椭圆的几何性质分为两类：一类是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标轴有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．在解题中要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式首先判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上再进行求解．5．直线与椭圆相交时一般利用韦达定理来求解弦长、中点和⊥等问题，要注意Δ>0这个...
