第4课时分段函数1.分段函数的定义一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.【思考】分成两段的分段函数是两个函数吗？提示：不是，分段函数是一个函数，只是在不同的取值范围上对应方式不一样.2.几个特殊的函数(1)高斯取整函数y=[x]，定义域为R，值域为Z.(2)狄利克雷函数D(x)=定义域为R，值域为{0，1}.1,xQ,0,xQ,(3)常数函数y=c，c为常数，定义域为R，值域为{c}，图像为垂直于y轴的直线.【思考】能否用图像表示狄利克雷函数？提示：不能，无法作出狄利克雷函数的图像.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)分段函数y=的定义域为(-∞，1].()(2)函数y=|x|不是分段函数.()(3)常数函数的图像是垂直于x轴的直线.()x,x1,x,x1提示：(1)×.分段函数y=的定义域为(-∞，1]∪[1，+∞)=R.(2)×.函数y=|x|=是分段函数.(3)×.常数函数的图像是垂直于y轴的直线.x,x1,x,x1x,x0,x,x02.已知函数f(x)=则f(f(-3))的值为________.x4,x0,x4,x0,【解析】因为f(x)=所以f(-3)=-3+4=1，f(f(-3))=f(1)=1-4=-3.答案：-3x4,x0,x4,x0,3.设函数f(x)=若f(x0)=8，则x0=______.2x2,x2,2x,x2,【解析】由题意，得(1)当x0≤2时，有+2=8，解之得x0=±，而>2不符合，所以x0=-.(2)当x0>2时，有2x0=8，解之得x0=4.综上所述，得x0=4或-.答案：4或-20x66666类型一分段函数的图像【典例】高斯取整函数y=[x]又称“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；称函数y=为“上取整函数”，其中表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]=1，[-1.3]=-2，<-2.3>=-2，<2.3>=3.(1)函数f(x)=，x∈[-2，2]，求(2)试作出函数y=[x]+的图像，其中-1≤x≤1.33f()f().22和【思维·引】1.根据两个取整函数的定义由内向外求值.2.先将函数的解析式分段表示，再作图.【解析】(1)函数f(x)=，x∈[-2，2]，因为则<>=<3>=3，则3333[]2[](2)32222，所以，33[]223f()32；因为则<>=<>=2，则=2.33333[]1[]122222，所以，33[]22323f()2(2)当x=-1时，[-1]=-1，<-1>=-1，此时y=[x]+=-1-1=-2，当-1=0，此时y=[x]+=-1+0=-1，当x=0时，[0]=0，<0>=0，此时y=[x]+=0，当0=1，此时y=[x]+=0+1=1，当x=1时，[1]=1，<1>=1，此时y=[x]+=1+1=2，则y=[x]+=2,x1,1,1x0,0,x0,1,0x1,2,x1,作图：【内化·悟】作分段函数的图像的关键是什么？提示：确定解析式.【类题·通】分段函数图像的作法(1)若函数的解析式中含有如取整、取绝对值等运算符号，则分情况去掉，分段表示解析式.(2)分段描点作图.(3)检查图像接点处点的虚实，做到不重不漏.【习练·破】(2019·石嘴山高一检测)已知函数f(x)=x|x-m|(x∈R)，且f(1)=0.(1)求m的值，并用分段函数的形式来表示f(x).(2)在如图给定的直角坐标系内作出函数f(x)的草图(不用列表).【解析】(1)因为f(1)=0，所以|m-1|=0，即m=1，所以f(x)=x|x-1|=22xx(x1),xx(x1).(2)函数图像如图：【加练·固】已知函数f(x)=|x-1|.(1)用分段函数的形式表示该函数.(2)在右边所给的坐标系中画出该函数的图像.【解析】(1)y=(2)作图：x1,x1,x1,x1.类型二分段函数的解析式及应用【典例】1.设f(x)=则f(5)的值为()A.10B.11C.12D.13x2(x10),f(f(x6))(x10),2.设f(x)=则使得f(m)=1成立的m值是()A.10B.0，10C.-2，0，10D.-1，1，112(x1)(x1),4x1(x1),3.如图，定义在[-1，+∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.世纪金榜导学号【思维·引】1.先求f(5+6)，再求f(f(5+6)).2.分段令f(m)=1，解方程求m.3.第一段为一次函数，第二段为二次函数，待定系数法求解析式.【解析】1.选B.因为f(x)=所以f(5)=f(f(11))=f(9)=f(f(15))=f(13)=11.x2(x10),f(f(x6))(x10),2.选C.当m<1时，f(m)=(m+1)2=1，所以m=-2...
