1．在区间[－π2，π2]上随机取一个数x，cosx的值介于0到12之间的概率为________．解析： 当x∈[－π2，－π3]∪[π3，π2]时，cosx∈[0，12]，∴P＝2×π6π＝13.答案：13解析： S圆＝πR2，S△＝3×12R2sin120°＝334R2，∴P＝334R2πR2＝334π.2．如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是________．答案：334π3．如图，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为________．解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝π3，A′点左右各一，构造出与角度有关的几何概型，故由几何概型的概率公式得P＝2π32π＝13.答案：134．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：P＝0.12＝120＝0.05.答案：0.055．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．解析：根据题意可设该不规则图形的面积为x平方米，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，所以可知3751000＝1x，解得x＝83.答案：83几何概型定义对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的地取一点，该区域中每一点被取到的机会；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个，这里的区域可以是、、等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型．几何区域内随机都一样指定区域中的点线段平面图形立体图形d的测度D的测度概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．考点一与长度有关的几何概型[自主解答]记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得P(A)＝12×22＝12.若在例1的已知圆中，从圆周上任取两点，连接两点成一条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率．解：记A＝{弦长超过圆内接正三角形边长}.如图，取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当另一个端点E在劣弧CD上时，|BE|>|BC|，而劣弧CD的长恰为圆周长的13.由几何概型公式有P(A)＝13.在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋34m＋1＝0无实根}中随机的取一元素x，恰使式子lgx有意义的概率为________．解析：由于Δ＝m2－4(34m＋1)<0，得－10.在数轴上表示为，故所求概率为45.答案：45(2011·惠州模拟)已知集合{(x，y)|x∈[0,2]，y∈[－1,1]}．(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．考点二与面积(或体积)有关的几何概型[自主解答](1)设事件“x＋y≥0，x，y∈Z”为A，x，y∈Z，x∈[0,2]，即x＝0,1,2，y∈[－1,1]，即y＝－1,0,1.则基本事件如下表.1＋＋＋00＋＋－1－0＋yx012基本事件总和n＝9，其中满足“x＋y≥0”的基本事件m＝8，P(A)＝mn＝89.故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为89.(2)设事件“x＋y≥0，x，y∈R”为B，x∈[0,2]，y∈[－1,1]．基本事件用下图四边形ABCD区域表示，SABCD＝2×2＝4.事件B包括的区域如阴影部分，S阴影＝SABCD－12×1×1＝4－12＝72，P(B)＝S阴影SABCD＝724＝78，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为78.已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．解：(1)如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.(2)满足x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2的点(x，y)有25个，满足x，y∈Z，且(x－2)2＋(y－2)2≤4的点(x，y)有6个，∴所求的...
