3．1.3导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．课堂互动讲练知能优化训练3.1.3课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1．物体在某一时刻的速度称为__________．2．导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的____．反映了函数f(x)在______处的变化情况．瞬时速度导数x＝x0知新益能知新益能1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的_____．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是_______．相应地，切线方程为______________________．斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)2．导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个_____的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称_____)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝____________________.确定导数limΔx→0fx＋Δx－fxΔx问题探究问题探究导数与切线的关系是什么？提示：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线f(x)在x＝x0处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．课堂互动讲练考点突破考点突破在点P处的切线利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．例例11求曲线y＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．【思路点拨】先按照定义求f′(x)，根据导数的几何意义可知f′(1)就是切线的斜率，再由点斜式求出曲线在点P处的切线方程．【解】易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2.即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)．即5x－y－3＝0.过点P的切线求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．求经过点(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．例例22【思路点拨】点2，0不在曲线上→设切点为x0，y0→求切线方程→点2，0在切线上→求得x0，y0→得直线方程【解】可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由y′|x＝x0＝limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝limΔx→0－ΔxΔx·x0＋Δx·x0＝limΔx→0－1x0x0＋Δx＝－1x20，故所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x20y0＝2－x0.再由P(x0，y0)在曲线y＝1x上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所以所求直线方程为x＋y－2＝0.求切点坐标解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想及待定系数法．已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?例例33【思路点拨】设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程→求出点的坐标【解】设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1) 抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，该点为(14，98)．(2) 抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4.即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．【名师点评】解此类问题的步骤为：(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．互动探究本例条件不变，则抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解： 抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直...
