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第二节导数的应用Ⅰ利用导数求函数的单调区间求函数f(x)＝x2－2lnx的单调区间。分析先计算f′(x)，再去研究不等f′(x)>0和f′(x)<0。解，xxxf22.1xxxx1令f′(x)>0得∵x>0，∴x2>1，∴x>1，即函数的增区间是(1，＋∞)，令f′(x)<0，得∵x>0，∴x2<1，∴00得增区间，令f′(x)<0得减区间。变式训练1已知a∈R，函数f(x)＝(x－a)，求f(x)的单调区间。【解析】由题意知函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，当x＝0时，f(x)＝0，既不是增函数也不是减函数。x＞0时，xxaxxaxxxf2321当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．当a＞0时，f′(x)＞03⇔x－a＞0，，f(x)在上(，＋∞)为增函数。f′(x)＜00⇔＜x＜，f(x)在(0，)上是减函数．综上，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的递增区间为(，＋∞)，递减区间为(0，)。3ax3a3a3a3a3a利用导数证明不等式已知x＞1，证明不等式x＞lnx成立.分析构造函数g(x)＝x－lnx，利用函数g(x)的单调性证明.证明令g(x)＝x－lnx，则g(1)＝1－ln1＝1＞0.∵x＞1，∴∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)＞g(1)＞0，即x＞lnx.0111xxxxg规律总结利用函数的单调性证明不等式是证明不等式的常用技巧．若证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以等价转化为证明f(x)－g(x)＞0，如果[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数f(x)－g(x)在区间(a，b)上是增函数；如果f(a)－g(a)≥0，由增函数下定义可知，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x)。20x变式训练2若，求证：x>sinx.【证明】设f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx＞0.∴f(x)在上递增．又f(0)＝0.∴x>0时f(x)>f(0)，即x>sinx.20x已知函数的单调性，求参数范围(12分)函数(1)若f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在(－∞，－1)上是减函数，求a的取值范围．分析单调性对应的导数的正负，转化为恒成立问题．xaxxf2解(1)∵，………2分若f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)时恒成立，………4分即.∴a≥(－2x3)max.………5分∵x>0，∴－2x3<0，∴a≥0.………7分故a的取值范围是[0，＋∞)22xaxxf022xax(2)若f(x)在(－∞，－1)上是减函数，则f′(x)＜0恒成立………8分即a＜(－2x3)min.………10分∵x<－1，∴－2x3>2.∴a≤2.故a可取值范围是(－∞，2].………12分规律总结(1)若f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a，b)恒成立(f′(x)不恒为0)；若f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a，b)恒成立(f′(x)不恒为0)．(2)不等式恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如a≥f(x)(x∈D)恒成立，可得a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)(x∈D)恒成立，可得a≤f(x)min(x∈D)；也可利用函数图象求解，如二次不等式讨论恒成立问题时，多采用图象法．【解析】由题意得f′(x)＝3x2－2ax≤0在x∈[0,2]上恒成立，即在x∈[0,2]上恒成立，变式训练3若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0,2]内单调递减，求实数a的取值范围.xa23.3,3230,2,0axx1．掌握判断函数在某区间上单调性的步骤，掌握单调区间的求法，注意在定义域上研究单调区间．2．已知含参数函数f(x)在某区间上的单调性，求参数范围时，注意可以用分离参数法求范围．并且注意当函数f(x)在区间上是增函数时有f′(x)≥0，是减函数时有f′(x)≤0.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．错解f′(x)＝3ax2＋6x－1.当f′(x)＜0时，f(x)是减函数，即3ax2＋6x－1＜0在R上恒成立，故解得a＜－3.,001236aa错解分析f′(x)＜0[x∈(a，b)]是f(x)在(a，b)上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作充要条件．如f(x)＝－x3在R上是减函数，但f′(x)＝－3x2≤0，f(x)在(a，b)上单调递减应为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立(f′(x)不恒为0)，f′(x)在(a，b)上有有限个点可以为零．正解由题意得f′(x)＝3ax2＋6x－1.若f(x)在R上是减函数，则f′(x)≤0(x∈R)恒成立，得a≤－3.,001236aa

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高考数学总复习第四单元第二节导数的应用Ⅰ课件

第二节导数的应用Ⅰ利用导数求函数的单调区间求函数f(x)＝x2－2lnx的单调区间

分析先计算f′(x)，再去研究不等f′(x)>0和f′(x)0得∵x>0，∴x2>1，∴x>1，即函数的增区间是(1，＋∞)，令f′(x)0，∴x2f(0)，即x>sinx

20x已知函数的单调性，求参数范围(12分)函数(1)若f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在(－∞，－1)上是减函数，求a的取值范围．分析单调性对应的导数的正负，转化为恒成立问题．xaxxf2解(1)∵，………2分若f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)时恒成立，………4分即

∴a≥(－2x3)max

………5分∵x>0，∴－2x3

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