高中数学 指数与指数函数课件 湘教版必修1 课件VIP免费

一、整数指数幂的运算性质二、根式的概念如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.即:若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子a叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.n(1)am·an=am+n(m,n∈Z);(2)am÷an=am-n(a0,m,n∈Z);(3)(am)n=amn(m,n∈Z);(4)(ab)n=anbn(n∈Z).三、根式的性质5.负数没有偶次方根.6.零的任何次方根都是零.1.当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,a的n次方根用符号a表示.n2.当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号a表示,负的n次方根用符号-a表示.正负两个n次方根可以合写为a(a>0).nnn3.(a)n=a.n4.当n为奇数时,an=a;n当n为偶数时,an=|a|=na(a≥0),-a(a<0).五、有理数指数幂的运算性质四、分数指数幂的意义注:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.函数y=ax(a>0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.六、指数函数a=am,a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1).nmnnmnma1(1)ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q);(2)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);(3)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(4)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).图象性质yox(0,1)y=1y=ax(a>1)a>1yox(0,1)y=1y=ax(00,a1)图象经过第二、三、四象限,则一定有()A.00B.a>1,b>0C.01,b<02.若0a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b124.若0(1-a)bB.(1+a)a>(1+b)bC.(1-a)b>(1-a)D.(1-a)a>(1-b)bb12bCADDC5.设a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则()A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b典型例题1.化简下列各式:(1)(1-a);(a-1)314(2)xy2·xy-1·xy;34=-a-1.=xy.解:(1)原式=(1-a)(a-1)-43=-(a-1)(a-1)-43=-(a-1)41(2)原式=[xy2(xy-1)](xy)213121=(xy2xy-)xy3121212121=(xy)xy2323312121=xyxy21212121(3)(1-a)[(a-1)-2(-a)].2121∴a-1<0.(3)由(-a)知-a≥0,21∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a)41=(-a).412.已知2x+2-x=5,求下列各式的值:(1)4x+4-x;(2)8x+8-x.解:(1)4x+4-x=(2x+2-x)2-22x·2-x(2)8x+8-x=(2x+2-x)3-32x·2-x(2x+2-x)=25-2=23;=125-15=110.3.已知2a·5b=2c·5d=10,求证:(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).证:由已知2a·5b=10=2·5,2c·5d=10=2·5,∴2a-1·5b-1=1,2c-1·5d-1=1.∴2(a-1)(d-1)·5(b-1)(d-1)=1,2(c-1)(b-1)·5(d-1)(b-1)=1.∴2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1).∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).∴2(a-1)(d-1)·5(b-1)(d-1)=2(c-1)(b-1)·5(d-1)(b-1).4.若关于x的方程2a2x-2-7ax-1+3=0有一个根是x=2,求a的值并求方程其余的根.a=时,方程的另一根为x=1-log23;a=3时,x=1-log32.125.已知2x=a+(a>1),求的值.a1x-x2-1x2-1解:以x+x2-1、x-x2-1为根构造方程:t2-2xt+1=0,即:t2-(a+)t+a·=0,a1a1a1∴t=a或.∵x+x2-1>x-x2-1,a>1,x-x2-1=.∴x+x2-1=a,a1∴x2-1=(a-),12a1∴原式=(a-)12a1a1=(a-1).12解法二:将已知式整理得:(a)2-2xa+1=0或()2-2x()+1=0.a1a1∵a>,a1∴a=x+x2-1,=x-x2-1,a1以下同上.6.已知函数f(x)=3x且f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x的定义域为[0,1].(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并用定义证明;(3)求g(x)的值域.∴f(a+2)=3a+2=18.解:(1)∵f(x)=3x且f-1(18)=a+2,∴3a=2.∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.即g(x)=2x-4x.(2)令t=2x,则函数g(x)由y=t-t2及t=2x复合而得.由已知x[0,1],则t[1,2],∵t=2x在[0,1]上单调递增,y=t-t2在[1,2]上单调递减,g(x)在[0,1]上单调递减,证明如下:∴g(x)的定义域区间[0,1]为函数的单调递减区间.对于任意的x1,x2[0,1],且x1g(x2).故函数g(x)在[0,1]上单调递减.=(2x1-4x1)-(2x2-4x2)=(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2)=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)>0.∴x[0,1]时有:解:(3)∵g(x)在[0,1]上单调递减,g(1)≤g(x)≤g(0).∵g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0,∴-2≤g(x)≤0.故函数g(x)的值域为[-2,0].6.已知函数f(x)=3x且f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x的定义域为[0,1].(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并用定义证明;(3)求g(x)的值域.7.设a>0,f(x)=-是R上的奇函数.(1)求a的值;(2)试判断f(x)的反函数f-1(x)的奇偶性与单调性.aexaex解:(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,即-a=0.1a∴a2=1.∵a>0,∴a=1.(2)由(1)知f(x)=ex-e-x,xR,f(x)R.∵f(x)是奇函数,∴f(x)的反函数f-1(x)也是奇函数.∵y=e-x是R上的减函数,∴y=-e-x是R上的增函数.又∵y=ex是R上的增函数,∴y=ex-e-x是R上的增函数.∴f(x)的反函数f-1(x)也是R上的增函数.综上所述,f-1(x)是奇函数,且是R上的增函数.此时,f(x)=ex-e-x是R上的奇函数.∴a=1即为所求.