二、极限重、难点重点:数列极限的概念难点:如何从变化趋势的角度来正确理解数列极限的概念目标:①知识目标:能从数列的变化趋势理解数列极限的概念,会判断一些简单数列的极限。②能力目标:培养观察分析,抽象概括,判断论述能力;渗透数形结合思想,充分挖掘思维的批判性和深刻性,以及潜在的探索发现能力和创造能力。要求:“动脑想,动口讲,大胆猜,精确写,勤钻研”战国时代哲学战国时代哲学家庄周所著的《庄子家庄周所著的《庄子··天下篇》天下篇》引用过一句话引用过一句话::一尺之棰日取其半万世不竭一尺之棰日取其半万世不竭..1战国时代哲学家庄周著的《庄子战国时代哲学家庄周著的《庄子··天下篇》引用过一句话:天下篇》引用过一句话:一尺之棰日取其半万世不竭一尺之棰日取其半万世不竭..nanbna:剩余的长度nb:截去的总长度0214387nb0814183218543871x1nanb02143871234nn从1的左侧无限趋近1是什么?的变化趋势分别和的无限增大,随着项数nnban0814183218543871xna从0的右侧无限趋近0表示的点的变化趋势和nnba121n1211n定性分析0-13121....)1(...3111,,,,2,nn(3)分析当n无限增大时,下列数列的项的变化趋势及共同特征:na..............共同特性:不论这些变化趋势如何,随着项数n的无限增大,数列的项无限地趋近于常数ana1递增无限趋近0递减无限趋近0无限趋近摆动...101...10110110132,,,,,n(1)...1...433221,,,,,nn(2)(即无限地接近于0).aan观察下面三个数列41①1,,,…,…,21n21x08121141②0.9,0.99,0.999,0.9999,……x9999.09.0999.0199.0x21212541412③1,,,…,,…212321412nn)1(2探究问题1:当n无限增大时,上述数列趋近常数的方式有哪几种类型?,21,,81,41,21,1n0.9,0.99,0.999,0.9999,,12,,412,321,212,12n1、2、3、n趋向于无穷大aannlim数列极限的描述性定义na一般地,如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限地趋近于某个常数,(即无限地接近0),nnaaaan那么就说数列以为极限,或者说naaana是数列的极限na(1)是无穷数列n(2)无限增大时,不是一般地趋近于,而是naa“无限”地趋近于a(3)数值变化趋势:递减的、递增的、摆动的读作“当n趋向于无穷大时,的极限等于a”na或“limit当n趋向于无穷大时等于a”na知识拓展一般地,对于数列{an},如果存在一个常数A,无论预先指定多么小的正数ε,都能在数列中找到一项aN,使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε(即当n>N时,|an-A|<ε恒成立),就把常数A叫做数列{an}的极限,记作an=A.nlim数列极限的数列极限的ε-Nε-N定义定义例题讲解例1、考察下面的数列,写出它们的极限:(1);,,,,,31271811n(2);,,,,,n1057995.695.65.6;,)2(1,,81,41,21n(3)解:(1)数列的项随n的增大而减小,但大于0,且当n无限增大时,无限地趋近于0,因此,数列的极限是0.31n31n31n700探究问题2:是否每个无穷数列都有极限?①2,4,6,8,…,2n,…②-1,-2,-3,…,-n,…③-1,1,-1,1,…,(-1)n,…[思考练习]:考察以下数列的变化趋势。(1)(2)(5)(4)(3)010无无[课堂练习]:0021limnn111limnnn00)1(limnnn例2、求常数数列-1,-1,-1,···,-1,···的极限.解:这个无穷数列的各项都是-1,当项数n无限增大时,数列的项始终保持同一个值-1,因此na.1)1(limn一般地,任何一个常数数列的极限都是这个常数本身,即CCnlim(C是常数)例3、用计算器计算,99.01000,99.05000,99.020000,99.010000由此猜想数列的极限(保留两位有效数字).}99.0{n解:由计算器可算得51000103.499.0225000105.199.04410000102.299.08820000101.599.0由此猜想099.0limnn一般地,如果,那么1||a.0limnnaaannnalim数列是否存在极限若存在极限99.0nna100)(n1nan2nanna)1(14nnanaannlim存在...