高考数学一轮复习 第五章 第6讲 不等式选讲课件 理 课件VIP专享VIP免费

第6讲不等式选讲考纲要求考纲研读1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c||＋|c－b|(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a2．了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|(2)x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32(通常称作平面三角不等式)3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法.近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：1．线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．2．基本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重“正”、“定”、“等”条件的满足条件.1．常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法．(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式．(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立．(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法．(5)放缩法：要证明不等式A0，|f(x)|a⇔f(x)<－a或f(x)>a.(2)理解绝对值的几何意义|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.{x|－1b”，应假设为()A．a>bB．a1的解集为____________________．5．(2010年陕西)不等式|2x－1|<3的解集为_____________．3．不等式|2x－1|>|x|的解集为__________________．{x|x>1或x<13}考点1比较法证明不等式例1：已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求证：ax2＋by2≥ax＋by2.证明： a＋b＝1，∴ax2＋by2－(ax＋by)2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋bay2－2abxy＝ab(x－y)2.又a，b∈R＋，∴ab(x－y)2≥0.∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.比较法证不等式步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式．第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论．第三步：得出结论.考点2综合法证明不等式例2：设a，b，c都是正数，求证：(1)(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9；(2)(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92.证明：(1) a，b，c都是正数，∴a＋b＋c≥33abc，1a＋1b＋1c≥331abc.∴(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．利用某些已经证明的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2…⇒⇒Bn⇒B，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.(2) (a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a，又1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥331a＋bb＋cc＋a，∴(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥92.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．考点3分析法证明不等式例3：已知α，β∈0，π2，且α≠β，求证：tanα＋tanβ>2tanα＋β2.证明：欲证的不等式，即为sinαcosα＋sinβcosβ>2sinα＋β2cosα＋β2，即只需证sinα＋βco...