2.2等差数列（一）1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．答案：等差公差2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的________，并且A＝________.自学导引答案：等差中项a＋b23．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________.答案：a1＋(n－1)d自主探究1．已知数列an中，an＝pn＋q其中p，q是常数，且p不为0，那么数列an是否为等差数列，如果是，公差和首项是多少？答案：根据等差数列的定义式an＋1－an＝p(n＋1)＋q－(pn＋q)＝p，a1＝p＋q，故数列an首项是a1＝p＋q，公差是d＝p的等差数列．2．如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？答案：若数列an已知首项a1且满足an－an－1＝d(n∈N*，n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，则数列an为等差数列．可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式．1．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是()A．an＝a＋(n－1)dB．an＝a＋(n－3)dC．an＝a＋2(n－2)dD．an＝a＋2nd解析：an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.答案：C预习测评2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B3．等差数列1,3,5,7…的通项公式是________．解析：因为a1＝1，公差d＝3－1＝2，所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2，即an＝2n－1.答案：an＝2n－14．3与15的等差中项是________．解析：3与15的等差中项是＝9.答案：91．等差数列的定义(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．要点阐释(2)等差数列的定义还可以用数学符号语言表述为：在数列an中，如果an＋1－an＝d(常数)对任意n∈N*都成立，则称数列an为等差数列，常数d称为等差数列的公差．特别提示：(1)注意定义中“同一常数”这一要求，这一要求可理解为：每一项与前一项的差是常数且是同一常数，否则这个数列不能称为等差数列．(2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．2．等差数列的通项公式公式an＝a1＋(n－1)d也可以用以下方法(累差法)导出：a2－a1＝da3－a2＝da4－a3＝d…an－an－1＝dn－1个将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，移项得通项公式an＝a1＋(n－1)d.“累差法”是推导给出形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)递推公式的数列的通项公式的一种重要方法．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．等差中项及等差数列的判定判断一个数列为等差数列的常见方法有：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔an为等差数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔an为等差数列．(3)通项法：an为n的一次函数⇔an为等差数列．如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．显然，如果A是x和y的等差中项，那么A＝x＋y2.特别提示：(1)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现，所以要引起重视．(2)A＝x＋y2是x，A，y成等差数列的充要条件，因此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，可以用它来判断或证明三个数成等差数列．题型一等差...
