直线与圆相切【例1】已知E(－2,4)，F(4,1)，G(8,9)，△EFG的内切圆记为⊙M.(1)试求出⊙M的方程；(2)设过点P(0,3)作⊙M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作⊙N：x2＋y2－4x＋λy＋4＝0的两条切线，切点分别记为C，D.试确定λ的值，使AB⊥CD.222222100260270.()()(0)210526,345,5275(3)(5.14)EGxyEFxyFGxyMxaybrrabrabrabrabrxy由题意，易得的方程为－＋＝，的方程为＋－＝，的方程为－－＝设的方程为－＋－＝＞，则有，解得＝，＝，＝所求方【程为－＋－】＝解析.312,33.66226PMPNPMPNABCDkkPN当且仅当时，因为＝故＝＝－，解得＝当＝时，点在圆外，故＝即为所求的满足条件的解．为了减少计算量，本题中的三条直线，两条互相垂直，两条关于水平直线对称．因而也可以通过求角平分线的交点而得出圆心．事实上，一条水平线为y＝4，两条互相垂直直线的角平分线所在直线的斜率为tan(α＋π/4)＝－3(tanα＝2)，直线方程为y＝－3x＋13，两直线交于点(3,4)，即为圆心，后利用圆心到任一条直线的距离即就是圆的半径．另外，本题中涉及线性规划，几何概型等考点，但仅是给出它们的背景，不要深入挖掘．将知识点有机组合而成的综合问题，是命题的一种趋势．【变式练习1】已知圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，点A(2a,0)，B(0,2b)，且a>1，b>1.(1)若圆与直线AB相切时，求线段AB的中点的轨迹方程；(2)若圆与直线AB相切，且△AOB面积最小时，求直线AB的方程及△AOB面积的最小值．222222(1)(1)11,11.1(11)2211|1||2|22112211xyCrxyABababABababababab圆的方程化为－＋－＝，则圆心，半径＝直线所在的直线方程为＝，．因为圆与直线相切，所以【析】＝解，2222222(2)24()422210.()22210(11)ababababababababababABMxyaxbyABxyxyxy所以＋＝＋－＝＋＋－＋＋，所以＋－－＝设线段的中点坐标为，，则＝，＝，代入上式得线段的中点的轨迹方程为＋－－＝，．22212242()410(11)22322()22222220.12232222ababababababababABxyAOBab因为＋＝＋，即－＋，，所以＝，当且仅当＝＝时，等号成立．所以直线的方程为＋－－＝面积的最小值为＝＋直线和圆的方程的综合应用【例2】已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay＋1＝0，过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点．(1)求a的值；(2)设E为圆C上异于A、B的任意一点，求圆C的内接三角形ABE的面积的最大值．112212121212221111222222121212121212121212()()021.210210()()()()2()()02()2214.AxyBxyyyxxyyxxxyxayxyxayxxxxyyyyxxayyxxayyyy设，，，，则＋＝，＋＝，＝又两式相减，得＋－＋＋－＋－＋－＝，所以＝－＋－＝－【－】＝－解析222222(1)(2)4(1,2)2.10|121|2,2222()(1)(22)4CxyCrABxyABdABrdExyxy圆的方程化为＋＋－＝，圆心－，半径＝因为线段所在的直线方程为－＋＝，所以圆心到直线的距离＝所以＝＝由，在圆＋＋－＝上，12sin22cos|222||12221|422222=2+22221·2222xysinsincosEABABEABPE可设则＝即到直线的距离的最大值为＋所以面积的最大值为＝＋本题较好地考查了直线与圆的交点弦及圆内接三角形面积的最值．第(1)问的顺利解决得益于代入求差法：已知曲线的弦的中点为定点，斜率为定值，则设弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，斜率都出来了，12121212,22yyxxyyxx点中因而可以方便地求出参数a的值；第(2)问可以先求出直线CP的方程，然后求直线CP与圆的两个交点坐标，取能使到直线AB距离最大的一个点E的坐标，再求|EP|即可，但用三角代换的方法显然容易得多224.11,23222CxylPCABABlCMxmmyNOQOMONQ�已知圆的方程为＋＝直线过点，且与圆交于、两点．若＝，求直线的方程；过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求【变动点的轨式练习】迹方程．22212(1).||3),2432(1)2(1)43450.34501.1lxlkykxldABdrkykxyxxylxyx【当直线的斜率不存在时，画...
