§10.3二项式定理考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§10.3二项式定理双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理基础梳理1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)所表示的定理叫作二项式定理．1．在公式中，交换a，b的顺序对其二项展开式是否有影响？思考感悟【思考·提示】(a＋b)n与(b＋a)n虽然结果相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，(a＋b)n的展开式的第k＋1项Cknan－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cknbn－kak是有区别的，应用二项式定理时，其中a和b不能随便交换．2．相关概念及公式(1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n的____________(2)各项的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫作二项式系数．(3)展开式中的________叫作二项展开式的通项，记作：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示展开式的第________项．r＋1二项展开式．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝______________________________3．二项式系数的性质(1)二项式系数的对称性：___________________________________________即：C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，…，Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当kn＋12时，二项式系数是_________.距首末两端等距离的两项的二项式系数相等递减的递增的当n是偶数时，_________________取得最大值．当n是奇数时，中间两项Cn－12n和Cn＋12n相等且取得最大值．(3)展开式系数总和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，其中奇数项系数的和等于偶数项系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_____思考感悟2．二项式系数与项的系数是否是同一概念？【思考·提示】二项式系数与项的系数是不同的概念，如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数是Crn，而第r＋1项的系数是Crnan－rbr.课前热身课前热身1．(x－1x)6的展开式中常数项为()A．15B．－20C．－15D．20答案：B2．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，则它等于()A．(x－2)4B．(x－1)4C．x4D．(x＋1)4答案：C3．(原创题)C1n＋3C2n＋9C3n＋…＋3n－1Cnn等于()A．4nB．3·4nC.4n3－1D.4n－13答案：D4．记(2x＋1x)n的展开式中第m项的系数为bm，若b3＝2b4，则n＝________.4．记(2x＋1x)n的展开式中第m项的系数为bm，若b3＝2b4，则n＝________.答案：55．(2011年马主马店调研)已知n为正偶数，且(x2－12x)n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是________.(用数字作答)解析：n为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n＝6，第4项系数为C36(－12)3＝－52.答案：－52考点探究•挑战高考考点突破考点突破求二项展开式的特定项或特定项的系数求二项展开式中的特定项，一定要抓住展开式中的通项Tk＋1＝Cknan－kbk，要注意通项是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0,1，…，n.求解时要将通项化成常数乘一个未知数多少次方的形式，然后根据需要求适合条件的项．已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．例例11(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【思路点拨】利用通项确定n，进而根据特定项的特征求解．【解】(1)二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－12)rx－r3＝(－12)rCrnxn－2r3. 第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴含x2项的系数为C210(－12)2＝454.(3)由题意知：10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，则r＝5－32k. r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.【名师点评】(1)解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项；(2)有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式...
