1 / 6 几种常用的连续型随机变量给出一个新概念：广义概率密度函数。设连续型随机变量ξ 的概率密度函数为φ(x), 那么任何与之成正比的函数f(x)∝φ(x), 都叫做ξ 的广义概率密度函数, 或者说 , 一个函数f(x)是ξ 的广义概率密度函数, 说明存在着一实数 a, 使得φ(x)=af(x) (1) 而知道了广义概率密度函数, ξ 的概率密度函数就可以根据性质1)(dxx, 求出将(1) 式代入得 : 1)()(dxxafdxx则dxxfa)(1因此 , 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么. 4.4 指数分布指数分布的概率密度函数为其它00)(xexx它的图形如下图所示: 它的期望和方差如下计算: 11)(00000xxxxxedxexeexddxexdxxxEx xeλ2 / 6 2002020222222)(|EdxxeexedxdxexdxxxExxxx22222112)(EED指数分布常用来作为各种"寿命 "分布的近似 . 4.5 Γ-分布如果一个随机变量ξ 只取正值 , 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x 的某次方 xk乘上指数函数e-λ x, 即其它0)0,1(0)(kxexxfxk那么就称 ξ 服从 Γ-分布了 . 上式中之所以要求k>-1, λ>0, 是因为广义积分0)(dxexdxxfxk只有在这种条件下才收敛. 此外 , 传统上为了方便起见, 用另一个常数r=k+1, 因此广义概率密度函数写为其它0)0,0(0)(1rxexxfxr而真实的概率密度函数φ(x)=af(x), 可以给出常数a 由下式计算 : 011dxexaxr这样 , 计算的关键就是要计算广义积分01dxexxr, 作代换 t=λ x, 则 x=t/λ, dx=dt/λ, 则01010111dtetdtetdxextrrtrxr, 问题就转成怎样计算广义积分01dtettr, 这个积分有一个参数r>0, 在 r 为一些特定的参数时 , 如当 r=1 时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当 r 为任意的正实数时, 此广义积分就没有一般的公式, 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数 . 比如说 , 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了 sin, cos 这样的记号来代表三角函数. 同样 , 上面的广义积分的取值只依赖于参数r, 每给定一个 r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫 Γ-函数 , 定义为3 / 6 01)(dtetrtr因此 , Γ 分布的概率密度函数的形式为其它0)0,0(0)()(1rxexrxxrr记作 ξ ~Γ(λ,r) Γ 函数的一个重要性质是)()1(rrr(r>0) 成立证: )...
