1 / 9 26.2 几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即 AAA1212；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。【典型例题】例 1：（1）平面上任意一点在矩阵51001的作用下 ( ) A. 横坐标不变 , 纵坐标伸长5 倍 B. 横坐标不变 , 纵坐标缩短到51 倍C. 横坐标 , 纵坐标均伸长5 倍 D. 横坐标 , 纵坐标均缩短到51 倍答案： B。（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是( )A. 1001 B. 1001 C. 0110 D. 1001答案： D。（3）已知二次曲线222320xxyyxy，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后 (0)2，所得图形的新方程式中不含xy 项，则 θ = （）A、 30°B、45°C、60°D、 75°答案： C。解析：由已知得旋转变换矩阵M = cos -sinsin cosT：cossinsincosxxxyyyxy，从而有cossinsincosxxyyxy代入原二次曲线方程，得到关于,xy 的新方程式，要使其中不含,xy 项，必须满足222sincos3(cossin)0 ，即 tan23 ， (0,),23。（4）设△ OAB 的三个点坐标为O(0,0),A(a 1,a2),B(b 1,b2)，在矩阵M = 1 k0 1对应的变换下作用后形成△OA B 则△ OAB 与△ OA B 的面积之比为 ___________。答案： 1：1。解析：由题意知TM 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。（5）函数3cosyx 在矩阵 M=1 010 2变换作用下的结果是。2 / 9 答案：3 cos2yx 。解析：本变换是伸压变换。例 2：试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。（1）1001方程为22xy；（2）1001点 A（2，5）；（3）1002曲线方程为422yx答案：（ 1）所给方程表示的是一条直线。设 A（x,y ）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A＇（ x 1,y 1） 0110yx＝yx∴ｘ＝ｘ＇ｙ＝ｙ＇变换后的方程仍为：ｙ＝２ｘ＋２∴该变换是恒等变换。 （图略）（2）经过变化后变为（-2 ， 5），它们关于y 轴对称，故该变换为关于y 轴的反射变换（3）所给方程是以原点为圆心，2 为半径的圆，设A（x,y ）为曲线上的任意一点，经过变换后的点为),(111yxA, 则1111,221002yyxxyxyxyx将之代入到422yx可得方程4142121yx，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换。例 3：将双曲线C：221xy上点绕原点逆时针旋转45° ，得到...
