利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧用心 爱心专心 115号编辑2 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数xxxgln)(设ba0，证明：2ln)()2(2)()(0abbabgag分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：1ln)(xxg，设)2(2)()()(xagxgagxF2lnln)2()(21)2(2)()(''''xaxxagxgxagxgxF当ax0时0)(xF，当ax时0)(xF，即)(xF在),0(ax上为减函数，在),(ax上为增函数∴0)()(minaFxF，又ab∴0)()(aFbF，即0)2(2)()(bagbgag设2ln)()2(2)()()(axxagxgagxG)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG当0x时，0)(' xG，因此)(xG在区间),0(上为减函数；因为0)(aG，又ab∴0)()(aGbG，即02ln)()2(2)()(axxagxgag故2ln)()2(2)()(axxagxgag综上可知，当ba0时，2ln)()2(2)()(0abbabgag本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。二、解题技巧是构造辅助函数， 把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值， 从而证得不等式， 而如何根据不等式的结构特征构造一个用心 爱心专心 115号编辑3 可导函数是用导数证明不等式的关键。1、利用题目所给函数证明【例 1】 已知函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(xxxg，从其导数入手即可证明。【绿色通道】1111)(xxxxf∴当01x时，0)( xf，即)(xf在)0,1(x上为增函数当0x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为减函数故函数( )f x 的单调递增区间为)0,1(，单调递减区间),0(于是函数( )f x 在),1(上的最大值为0)0()(maxfxf，因此，当1x时，0)0()(fxf，即0)1ln(xx∴xx)1ln(（右面得证），现证左面，令111)1ln()(xxxg，22)1()1(111)(xxxxxg则当0)(,),0(;0)(,)0,1(xgxxgx时当时，即)(xg在)0,1(x上为减函数，在),0(x上为增函数，故函数)(xg在),1(上的最小值为0)0()(mingxg，∴当1x时，0)0()(gxg，即0111)1ln(xx∴111)1ln(xx，综上可知，当xxxx)1ln(111,1有时【警示启迪】如果( )f a 是函数( )f x 在区间上的最大（小）值，则有( )f x( )f a （或( )f x( )f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 0就可得证．2、直接作差构造函...
