高等数学（2）学习辅导(水利) ——概率统计部分第 2 章 随机变量极其数字特征[学习目标] ⒈ 了解随机变量的概念及其分类（离散型和连续型），了解概率分布与分布密度的概念，了解分布函数的概念；了解二项分布和均匀分布；熟练掌握正态分布以及计算服从正态分布的随机变量所对应事件的概率。 ⑴ 随机变量是指在一定实数范围内以确定的概率取值的变量。一般称为在上取值的概率。 常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量用概率分布列来刻画，满足： ① ② 连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足： ① ② ⑵ 随机变量的分布函数定义为 对于离散型随机变量有 对于连续型随机变量有 ⑶ 二项分布的概率分布为 特别地，当时，，称做两点分布。 ⑷ 均匀分布的密度函数为 ⑸ 正态分布的密度函数为 其图形曲线有以下特点： ①，即曲线在 x 轴上方。 ②，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值。 ③ 在处，曲线有两个拐点。 ④ 当时，，即以轴为水平渐近线。 特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量。 将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换： 若，令，则，且 Y 的密度函数为 ⑶ 服从标准正态分布的随机变量的概率为 那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出 ⒉ 理解期望与方差的概念及其性质，掌握其计算方法。 ⑴ 期望：随机变量的期望记为，定义为 （离散型随机变量，是的概率分布） （连续型随机变量，是的概率密度） ⑵ 方差：随机变量的方差记为，定义为 （离散型随机变量） （连续型随机变量） ⑶ 随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为 （离散型随机变量，是的概率分布） （连续型随机变量，是的概率密度） 由此可得方差的简单计算公式 ⑷ 期望与方差的性质 ① 若为常数，则 ② 若为常数，则 ③ 对随机变量，有 若相互独立，则有 ④ 若为常数，则 ⑸ 常见分布的期望与方差 二项分布： 均匀分布： 正态分布：[综合练习题及参考答案] 一、填空题1.连续型随机变量的密度函数是，则 。解：由定义2.设为随机变量，已知，那么 。解：由方差性值，。 二、单项选择题 1.下列函数中，能作为随机变量密度函数的是（ ）。 A. ； B. ；C. ； D. 解：答案 B2.设连续随机变量X 的概率密度函数f ( x)={2 x0
