2-21.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是( )A.b2-4ac>0 B.b>0，c>0C.b=0，c>0 D.b2-3ac<0[答案] D[解析] a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0 恒成立，∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0，∴b2-3ac<0.2.(2009•广东文，8)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( )A.(-∞，2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2，+∞)[答案] D[解析] 考查导数的简单应用.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex，令 f′(x)>0，解得 x>2，故选 D.3.已知函数 y=f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率 k=(x0-2)(x0+1)2，则该函数的单调递减区间为( )A.[-1，+∞) B.(-∞，2]C.(-∞，-1)和(1,2) D.[2，+∞)[答案] B[解析] 令 k≤0 得 x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-∞，2].4.已知函数 y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是( )[答案] C[解析] 当 0∴f′(x)<0，故 y=f(x)在(0,1)上为减函数当 x>1 时 xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故 y=f(x)在(1，+∞)上为增函数，因此否定 A、B、D 故选 C.5.函数 y=xsinx+cosx，x∈(-π，π)的单调增区间是( )A.-π，-π2 和 0，π2B.-π2，0 和 0，π2C.-π，-π2 和 π2，πD.-π2，0 和 π2，π[答案] A[解析] y′=xcosx，当-πcosx<0，∴y′=xcosx>0，当 00，∴y′=xcosx>0.6.下列命题成立的是( )A.若 f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何 x∈(a，b)，都有 f′(x)>0B.若在(a，b)内对任何 x 都有 f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)上是增函数C.若 f(x)在(a，b)内是单调函数，则 f′(x)必存在D.若 f′(x)在(a，b)上都存在，则 f(x)必为单调函数[答案] B[解析] 若 f(x)在(a，b)内是增函数，则 f′(x)≥0，故 A 错;f(x)在(a，b)内是单调函数与 f′(x)是否存在无必然联系，故 C 错;f(x)=2 在(a，b)上的导数为 f′(x)=0 存在，但 f(x)无单调性，故 D 错.7.(2007•福建理，11)已知对任意实数 x，有 f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0 时，f′(x)>0，g′(x)>0，则 x<0 时( )A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0[答案] B[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0 时，f′(x)>0，g′(x)<0.8.f(x)是定义在(0...
