【创新设计】2025-2025 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课时作业 新人教版选修 2-2明目标、知重点1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中常常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题 ． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是： → ←上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.[情境导学]生活中常常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一 面积、体积的最值问题思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？答 (1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量 y 与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式 y＝f(x)．(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例 1 学校或班级进行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解 设版心的高为 x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8，x>0.求导数，得S′(x)＝2－.令 S′(x)＝2－＝0，解得 x＝16(x＝－16 舍去)．于是宽为＝＝8.当 x∈(0,16)时，S′(x)<0；当 x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.因此，x＝16 是函数 S(x)的微小值点，也是最小值点．所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练 1 如图所示，某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．答案 32,16解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最...
