高中数学 椭圆的简单几何性质(2)优质课件(选修2 1) 课件VIP专享VIP免费

1．点 P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔ _______________； 点 P 在椭圆内部⇔ _____________； 点 P 在椭圆外部⇔ _____________. x20a2＋y20b2＝1 x20a2＋y20b2<1 x20a2＋y20b2>1 2．直线 y＝kx＋m 与椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的位置关系判断方法：联立 y＝kx＋mx2a2＋y2b2＝1， 消去 y 得到一个一元二次方程 Ax2＋Bx＋C＝0，则有 位置关系 解的个数 Δ 的取值 相交 ____解 Δ____0 相切 ____解 Δ____0 相离 ____解 Δ____0 两 > 一 ＝ 0 < 3.弦长公式 设直线方程 y＝kx＋m，椭圆方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)． 直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， |AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 或|AB|＝1＋ 1k2· y1＋y22－4y1y2. 探究点一 直线与椭圆的位置关系 问题 1 已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？ 答案 直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于 x(或 y)的一元二次方程的根的判别式来判断． Δ>0⇔ 直线和椭圆相交；Δ＝0⇔ 直线和椭圆相切； Δ<0⇔ 直线和椭圆相离． 问题 2 直线与椭圆的位置关系能否用中心到直线的距离来判断？ 答案 不能 例 1 已知椭圆x225＋y29＝1，直线 l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线 l 的距离最小？最小距离是多少？ 解 由直线 l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线 l 与椭圆不相交(为什么？)．设直线 m 平行于直线 l，则直线 m 的方程可以写成 4x－5y＋k＝0. ① 由方程组 4x－5y＋k＝0x225＋y29＝1， 消去 y，得 25x2＋8kx＋k2－225＝0. ② 令方程②的根的判别式 Δ＝0， 得 64k2－4×25(k2－225)＝0. ③ 解方程③得 k1＝25，或 k2＝－25. 由图可知，当 k＝25 时，直线 m 与椭圆的交点到直线 l 的距离最近，此时直线 m 的方程为 4x－5y＋25＝0. 直线 m 与直线 l 间的距离 d＝|40－25|42＋－52＝1541 41. 所以，最小距离是1541 41. 问题 3 如何求最大距离？ 答案 由图可知，k＝－25 时，直线 m 与椭圆的交点到直线 l 的距离最大． 小结 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题． 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆...