专题三 数列的综合应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1．数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 2．数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等. 3．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 4．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)分期付款模型：设贷款总额为 a，年利率为 r，等额还款数为 b，分 n 期还完，则 b＝ r(1＋r)n(1＋r)n－1a. [难点正本 疑点清源] 1．用函数的观点理解等差数列、等比数列 (1)对于等差数列，由 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点．当 d>0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0 时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d<0 时，函数是减函数，对应的数列是递减数列． 若等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝pn2＋qn (p、q∈R)．当 p＝0 时，{an}为常数列；当 p≠0 时，可用二次函数的方法解决等差数列问题． (2)对于等比数列：an＝a1qn－1.可用指数函数的性质 来理解． ①当 a1>0，q>1 或 a1<0,00,01 时，等比数列{an}是递 减数列． ③当 q＝1 时，是一个常数列． ④当 q<0 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆 动数列． 2．解答数列综合问题的注意事项 (1)要重视审题、精心联想、沟通联系； (2)将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来. 题型分类 深度剖析 题型一 等差数列与等比数列的综合应用 例 1 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n≥1)． (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且T3＝15，又 a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列，求Tn. 思维启迪：(1)运用公式 an＝...
