第五章 平面向量第 讲（第二课时）题型 3 共线向量与三点共线问题 1. 在平行四边形 ABCD 中，M 是 AB 的中点， N 在 BD 上，且 试推断 M 、 N 、 C 三点 是否共线，并说明理由 .1.3BNBD解：因为 所以 所以向量 与 共线，故 M 、 N 、 C 三点共线 .点评：用向量法证明几何中的平行或共线问题，就是用向量表示图中的有关线段，利用向量的相等得到线线平行或多点共线，如本题中的三点共线，即从这三点中任取两点构成向量，然后看这两个向量是否是共线向量 .1,2MCMBBCABAD�11MN=MB+BN=AB+BD23111 11(-)(),233 23ABAD ABABADMC��MN�MC� 设 E 、 F 分别是 四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 的中点，试推断向量 与 是否共线 .EF�ABCD�,EFEAABBF�,EFECCDDF�2()()().EFEAECABCDBFDF�0,0.EAECBFDF�2,ABCDEF�EF�ABCD�解：因为又所以 因为 E 、 F 分别是 AC 、 BD 的中点， 所以 所以 故 与 共线 .2. 如图，三角形 ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，AM 与 BN 相交于点 P ，设 =e1, =e2. 试用 e1、 e2 表示 . 解：因为 =e1, =e2，则 又 所以 题型 4 平面向量基本定理的应用2,ANNC�AB�AC�AP�AB�AC�121 (),2AMee�2,ANNC�22.3ANe� 又设 则由 得 所以 解得 所以 12212(),(-)-,23kAPAMeeBPkBNk ANABeke�,APABBP�121212()-,23keeeeke1-2,223kk45 ,35k1222.55APee�点评：本题向量比较多，一般取不共线的两向量作为基本向量，其他向量都往这两个向量转化，如本题中尽量往△ ABC 的边所在向量 上转化，转化的策略是利用加减法运算合并向量或分解向量 . AB AC�、在平行四边形 ABCD 中， M 、 N分别是 CD 、 BC 的中点，设 试以 a 、 b 为基底表示向量 和 . AMa ANb�，，AB�AD�.ABBNAN ADDMAM�，1,21.2ABADbADABa��42-,3342-.33ABbaADab��解：由图知，所以 解得 3. O 是平面内一定点， A 、 B 、 C 是平面内不共线的三个点 , 动点 P 满足 λ∈ ［ 0 ， +∞) ，则点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的 ( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心题...
