第 2 讲 数列求和及数列的综合应用 感悟高考 明确考向 (2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. 因为 a3＝7，a5＋a7＝26，所以 a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26， 解得 a1＝3，d＝2.所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋n(n－1)2×2＝n2＋2n. (2)由(1)知 an＝2n＋1， 所以 bn＝1a2n－1＝1(2n＋1)2－1＝14·1n(n＋1) ＝14·1n－ 1n＋1 ， 所以 Tn＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n－ 1n＋1) ＝14·(1－ 1n＋1)＝n4(n＋1)， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn＝n4(n＋1). 考题分析 本题主要考查了等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和 Sn 的求法．第(1)问突出考查数列的基本量法和公式法．第(2)问突出考查裂项相消求和法． 易错提醒 (1)不能准确选择基本量，求不出 a1 和公差 d. (2)bn 化简不准确，不能正确将 bn 进行裂项． 主干知识梳理 1．等差、等比数列的求和公式 (1)等差数列前 n 项和公式： Sn＝na1＋n(n－1)2·d＝n(a1＋an)2. (2)等比数列前 n 项和公式： ①q＝1 时，Sn＝na1； ②q≠1 时，Sn＝a1(1－qn)1－q. 2．数列求和的方法技巧 (1)转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． 3．数列的应用题 (1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决． (2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比...
