第 2 课时 椭圆方程及性质的应用【课标要求】 1．进一步巩固椭圆的简单几何性质． 2．掌握直线与椭圆位置关系的相关知识． 【核心扫描】 1．与直线和椭圆的位置关系相关的距离、弦长、中点等问题．(重点) 2．与椭圆相关的综合应用问题．(难点) 自学导引 点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔ x20a2＋y20b2＝1； 点 P 在椭圆内部⇔ x20a2＋y20b2<1； 点 P 在椭圆外部⇔ x20a2＋y20b2>1. (2)直线 y＝kx＋m 与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1. ∴消 y 得一个一元二次方程 位置关系解的个数Δ 的取值相交 解Δ 0相切 解Δ 0相离 解Δ 0两一无>＝<想一想：直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来判断呢？ 提示 不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等． 名师点睛 直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆有三种位置关系： ①相交——直线与椭圆有两个不同的公共点； ②相切——直线与椭圆有且只有一个公共点； ③相离——直线与椭圆没有公共点． (2)直线与椭圆的位置关系的判断： 我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题，而它们的方程所组成的方程组的解的问题通常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此，直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二次方程的判别式来判断． (3)弦长公式： 设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2， ∴|AB|＝ （x1－x2）2＋（kx1－kx2）2 ＝ 1＋k2· （x1－x2）2 ＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2， 或|AB|＝1ky1－1ky2 2＋（y1－y2）2 ＝1＋1k2· （y1－y2）2 ＝1＋1k2× （y1＋y2）2－4y1y2. 其中，x1＋x2，x1x2 或 y1＋y2，y1y2 的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去 y 或 x 后得到关于 x 或 y 的一元二次方程得到． 题型一 直线与椭圆的位置关系 【例 1】 椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 x＋y－1＝0 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若 AB＝2 2，OC 的斜率为 22 ，求...
